Огненный ветер вы!жигаЕТ им лица, а они- всё ИДУТ вперёд,Огненный жар иЗ!пепеляЕТ им сердца, а они- всё ИДУТ вперёд,Огненный смерч уносит их последнее дыхание, а они- всё ИДУТ вперёд,... укрепляя гору МОГУЧЕЮ СИЛОЮ СВОЕЮ...... и чувство суеверного страха охватывает Халат-Сяхыл: Люди! - идут... в атаку!, - БЕЗ!смертны! ОНИ!
Отправлено: 11.04.17 09:58. Заголовок: доказательствА! великой Теоремы Фермата
Я доказал 14/09/2016 ЕДИНСТВЕННО-ВОЗМОЖНЫМ доказательством Великую Теорему Ферма(Фермата!). Я могу произнести формулу доказательства великой теоремы Фермата : 1 - великая теорема Фермата НИКОГДА! и НИкем! НЕ! БЫЛА ДОКАЗАНА!!! 2 - доказано! ЕДИНСТВЕННО-ВОЗМОЖНОЕ доказательство теоремы Фермата 3 - великая теорема Фермата доказана универсально-доказана для всех чисел 4 - великая теорема Фермата доказана в требованиях самого! Фермата от 1637г. 5-(4.1) - великая теорема Фермата доказана на 2 страницах тетради 6-(4.2) - великая теорема Фермата доказана в аппарате арифметики Диафанта 7 - доказательство великой теоремы Фермата, как и формулировку, легко понять ученику 5-го класса школы!!! 8 - Я! открыл ВЕЛИКУЮ! Тайну ВЕЛИКОЙ! теоремы Фермата !( а не "просто" - "механическое" доказательство)
!!!!- НИКТО! и НИКОГДА!(кроме МЕНЯ!..конеЧно!) и НИ ЗА ЧТО! НЕ! найдёт действительного Доказательства ВТФ!
=========================================== Юрист!!! Пьер де Ферма. Пьер де Ферма (1601-1665) – французский судья и самоучка, известен как автор самой сложной теоремы всех времен. Свою карьеру и жизненный путь Ферма связал с юриспруденцией, и работал в местном парламенте маленького городка Кастр (до 1789 года «парламентом» во Франции называли суды).
Помимо блестящей карьеры в суде, Пьер также увлекался математикой, был самоучкой, черпая свои знания из книг и переписки со своими сверстниками, учеными и философами того времени – Декартом, Паскалем, Бернардом де Бесси и другими. Несмотря на его статус любителя, профессиональные математики ценили переписку с Пьером Ферма и называли его «королем среди любителей». Главный интерес он проявлял к теории чисел, которая в начале 17 столетия стала очень популярной во Франции благодаря новым изданиям трудов древнегреческих математиков. Изучая их, Ферма смог обосновать основные проблемы решения многочисленных задач, которые стали основными для развития классической теории чисел.
Больше всего влияния на Пьера Ферма оказала книга «Арифметика», изучая которую он исписывал поля собственными рассуждениями, впоследствии изменившими развитие математического мышления. В этой книге греческий математик и отец алгебры Диофант Александрийский описывал натуральные числа Пифагора. На основании «Арифметики» Ферма, решая задачи сложных уравнений с несколькими неизвестными, сформулировал легендарное утверждение, позже названное в его честь Великой теоремой Ферма. Доказательство теоремы заняло 1637 - 2016 = около 380 лет.
Наибольший научный вклад Ферма в развитие математики в том, что он обратил внимание на роль, которую занимают простые числа.
Великая теорема Ферма Рассуждения Ферма о натуральных числах были не единственными, и даже не Пифагор первым их обосновал. История исчислений натуральных чисел была известна еще в Шумере и Древней Индии, но только Пифагор записал эти рассуждения в современной математической формуле: x2 + y2 = z2, а Ферма увеличил количество неизвестных: xn + yn = zn.
Особый интерес к натуральным числам возродился в начале 17 столетия, после издания «Арифметики» Диофанта. Эта книга стала особо популярной среди ученых и философов, которые пытались рационально объяснить мироустройство, исключая всякое божественное начало. Среди них был и Пьер Ферма.
Во время чтения «Арифметики» ему в голову пришла идея заменить показатель степени 2 в теореме Пифагора любым другим числом. Тогда он понял: решения такому суждению не существует, и это можно доказать. Но само доказательство не записал из-за отсутствия места в книжке. На страницах книги II, обдумывая задачу 8, Ферма записал только следующее:
«Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».
Доказать выдвинутое утверждение Ферма, что нет простого решения для уравнения, например, 32+42=52, когда n˃2, являющегося целым числом, впоследствии смогли немногие. Сегодня известно, что Ферма доказал отсутствие решения для n = 4. А из его переписки известно, что он также осуществил и доказательство для n = 3, но найти его среди писем не удалось.
Рассуждение Ферма о простых числах стало широко известным после того, как в 1670 году его сын Самюэль опубликовал книгу «Арифметика», но уже с комментариями отца. Путь доказательства занял более чем 2016 - 1637 =... 380 лет.
- СЕЙЧАС! всё Человечество, под тысячелетней! ВЛАСТЬЮ реального! земноводного ГАДа, ПЕРЕШЛО! ГРАНЬ ПОЛНОГО СВОЕГО! ТОТАЛЬНОГО ИЗТРЕБЛЕНИЯ тысячелетним!(повтор!) ГАДОМ !!!
- и....доказательства чего-либо в АРИФМЕТИКЕ-АЛГЕБРЕ-.... - УХОДИТ на СТО...тысяч...десятый ПЛАН..
...теперь ...... КАЖДЫЙ!!!! ...может собрать весь свой ....багаж ...знаний ..... ............................., накопленных ВСЕМ! ЧЕЛОВЕЧЕСТВОМ! за ЧЕТЫРЕСТА ЛЕТ от 1637 года... ...................... ...................................................... и ........................... ......................................................................... .................мгновенно !!! найти ошыбку.....(...конеЧно!...).....в ......
Доказательство ВТФ должно начать со вступительного Слова -
Главной Мысли С-МыСла всего Доказательства..., Доказательства - которое НЕ!ДОСТИЖЫМО .... НИКОМУ! и НИКОГДА!!! около 400 лет !!! ...и ...НИКОГДА !!! в будущем.... (...если скромно...конеЧно!...)
...из чего следует......, ЧТО! ......... !!!!!!!!!!!!!!!! ...........Главная Мысль и С-МыСл ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО! Доказательства Великой теоремы Ферма... - ещё! БОЛЕЕ!!! НЕ! ДОСТИЖЫМ!
//(...где ты! ...сразу мгновенно найдёшь ошыбку!!!...., что много-МНОГО! проще....,- конеЧно!....)
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
An + Bn = Cn (1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах.
Принимаем: A, B – натуральные числа.
Полагаем, что C - тоже натуральное число, которое представимо в виде суммы двух натуральных чисел: C= k + m . В этом случае число Cn можно записать в виде бинома Ньютона:
Cn = (k + m)n (2)
Так как алгебраическое выражение (An + Bn) не является биномом Ньютона, не может быть преобразовано в бином Ньютона, то оно не может быть равно биному Ньютона. Отсюда следует, что при любых заданных значениях чисел A, B число Cn , определяемое по формуле (1), т.е. равное алгебраическому выражению, не являющемуся биномом Ньютона, не может быть представлено в виде бинома Ньютона в соответствии с формулой (2). Следовательно, C – дробное число.
Сделанный вывод справедлив и для показателя степени n=2 для чисел, не являющихся пифагоровыми.
Таким образом, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах.
Следовательно, существует (M-1) вариантов определения куба числа M.
Примечание: Это доказательство Великой теоремы Ферма является одним из первых выполненных мною доказательств. Оно вошло в «Сборник доказательств Великой теоремы Ферма и гипотезы Биля», защищенных свидетельством Украины № 28607 о регистрации авторского права. Это доказательство ранее нигде не публиковалось из-за его очевидной простоты. Свои отзывы направляйте по указанному здесь электронному адресу.
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn+ Вn = Сn /1/
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
Аn = Сn -Вn /2/
Пусть показатель степени n=2m. Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом:
А2m = С2m –В2m /3/
Уравнение /3/ рассматриваем как параметрическое уравнение 2m- ной степени с параметром A и переменными B и С.
Уравнение /3/ запишем в следующем виде:
А2m = (Сm)2 –(Вm )2 /4/
Обозначим:
Вm =V /5/
Сm =U /6/
Отсюда:
В2m =V2 /7/
С2m =U2 /8/
В = /9/
С = /10/
Тогда из уравнений /3/, /7/ и /8/ следует:
А2m = С2m –В2m =U2 - V2 /11/
Уравнение /11/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2m = (U - V)∙(U + V) /12/
Для доказательства великой теоремы Ферма используем метод замены переменных. Обозначим:
U-V=X /13/
Из уравнения /13/ имеем:
U=V+X /14/
Из уравнений /12/, /13/ и /14/ имеем:
А2m=X∙ (V+X+V)=X∙(2V+X) = 2V∙X+X2 /15/
Из уравнения /15/ имеем:
А2m - X2= 2V∙Х /16/
Отсюда: V = /17/
Из уравнений /14/ и /17/ имеем:
U= /18/
Из уравнений /9/, /10/, /17/ и /18/ имеем:
В= /19/
C = /20/
Из уравнений /19/ и /20/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A на число X , т. е. число X должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А. Другими словами, число А должно быть равно:
A = N∙ X , /21/
где N - простое или составное целое положительное число.
Из уравнений /19/ и /20/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X : оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений /19/, /20/ и /21/ следует:
В= /22/
C= /23/
Обозначим:
P = /24/
Q = /25/
Тогда:
B = /26/
С = /27/
Допустим, что:
X =Rm /28/
P= Sm. /29/
Тогда в соответствии с уравнением /26/ число B равно:
B = =R∙S. /30/
Из уравнений /24/, /25/ и /29/ имеем:
Q = = P + 1= Sm + 1 /31/
Таким образом, из уравнений /27/, /28/ и /31/ следует:
С = /32/
Очевидно, что число:
Sm + 1 ≠ Mm. /33/
где M – целое число.
Следовательно, число С – дробное число.
ВАРИАНТ
Пусть в формуле /19/ подкоренное выражение равно:
= Pm /34/
Тогда из формулы /19/ следует:
B = =P.
В этом случае подкоренное выражение в формуле /20/ будет равно:
=Pm + X
В этом случае из формулы /20/ следует:
С = /35/
Но:
Pm + X ≠ Qm , /36/
так как в соответствии с формулой /34/ значение числа Pm зависит от значения числа X. При этом число Pm содержит в себе сомножитель X, т.е.:
Pm = X∙D
Отсюда в соответствии с формулой /36/ следует:
Pm + X = X∙D +X = X(D+1)
А из формулы /35/ следует:
С = .
Откуда следует, что C – дробное число.
Следовательно, и в таком варианте доказательства число С – дробное число.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.
В частном случае, если показатель степени m=1, из формул /19/ и /20/ имеем:
B=V=; C=U=. /34/
При условии, что числа A и X имеют одинаковую четность и число X
является делителем числа A, по формулам /34/ определяются пифагоровы числа B и C для числа A.
Отправлено: 13.09.18 13:58. Заголовок: Содержание Биографи..
Содержание
Биография Ферма 3
Достижения в математике 4
Малая теорема Ферма 6
История Великой теоремы Ферма 7
Биография Ферма
“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона, крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец - Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать - Жанна Казнюв, и я”. Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документ искали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 года исправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне и все его пять тысяч жителей по сей день не в силах осознать значимость находки адвоката. Здесь родился великий Ферма, последний математик-алхимик, замучивший человечество своими загадками, один из четырех титанов математики нового времени.
Пьер провел детство с родителями, а учиться поехал в Тулузу - ближайший университетский город. Изучив право, Пьер Ферма успешно начал карьеру адвоката, но решил перейти на государственную службу. Пьер женился на кузине своей матери Луизе де Лонг, дочери советника парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку “де”. В 1631 г. актом от 14 мая Ферма зачисляется на должность советника кассационной палаты Тулузкого парламента.
В семье гениального математика родились три сына и две дочери. Один сын стал юристом, два других священниками, а обе дочери Ферма приняли монашество.
В свой бурный век Ферма прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, не был наперсником французских королей, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Всю свою жизнь Ферма провел в Тулузе, в той же должности, и неожиданно скончался в возрасте 64 лет во время поездки по делам службы. Жизнь его бедна внешними событиями, но следы, оставленные им в математике, таковы, что интерес к его личности не ослабевает.
Достижения в математике
Достижения Ферма относятся к разным разделам математики: к аналитической геометрии, теории чисел, анализу, вычислению интегралов и т.д. В теории чисел Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей произвольного числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырех квадратов. С именем Ферма связаны две замечательные теоремы - большая (иногда ее называют последней) и малая. Ферма и Р. Декарт - основоположники аналитической геометрии. Кроме того, Ферма раньше Декарта и более систематизировано ввел прямолинейные координаты, изложил метод координат и применил его к геометрии, выведя уравнения прямой и кривых второго порядка. В работе "Введение к теории плоских и пространственных мест", ставшей известной в 1636 г., Ферма показал, что прямым соответствуют уравнения 1-й степени, а коническим сечениям - уравнения 2-й степени. Ферма исследовал общие виды уравнений 1-й и 2-й степени преобразованием координат. Важное место в истории дифференциального и интегрального исчисления заняла работа Ферма "Метод отыскания наибольших и наименьших значений", опубликованная лишь в 1679 г. В ней Ферма фактически осуществил операцию, называемую теперь дифференцированием, и применил ее для нахождения не только максимумов и минимумов, но и касательных к кривым. Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней; распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.
Наследие Ферма неисчерпаемо по глубине содержания. Ферма своими работами способствовал развитию новых отраслей в математике: математического анализа, аналитической геометрии (одновременно с Декартом), теории вероятностей. Главным вкладом Ферма в алгебру явилась развитая им теория соединений или, как её ещё называют, комбинаторика. Отдельные задачи теории соединений были решены уже в древности греками и индийцами, но научная постановка этих вопросов возникла лишь в XVII веке в работах Ферма и его современника, знаменитого французского философа, математика и физика Блеза Паскаля. Исходя из основ комбинаторики, эти два учёных и положили начало новой математической науке, называемой теорией вероятностей, получившей в XVIII веке значительную теоретическую базу.
Ферма работал также над некоторыми вопросами физики, например, сформулировал так называемый принцип геометрической оптики, из которого выводятся законы отражения и преломления света (принцип Ферма).
Прижизненная известность Ферма основана на обильной переписке, в которой он донимал друзей и недругов необычными задачами. Его посмертная слава разрослась благодаря скромным пометкам на полях “Арифметики” Диофанта. Обычно человечеству необходимо несколько десятков лет, чтобы разобраться с наследием очередного неуемного гения. На окончательное осмысление загадок Ферма понадобилось без малого четыре века.
Малая теорема Ферма
Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название “Малая теорема Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для любого простого p и любого a1, которое не делится на p, разность делится на p.
Например, пусть a=5, p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=22, 53-1-1=38, 57-1-1=72232, 511-1-1=11887784. Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным для него замечанием: “... я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным”.
Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736 г., опубликовал сразу три различных доказательства, которые показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять, насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его “Малой теоремы”: пусть (m) - число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Тогда для любого m и любого a1, взаимно простого с m, разность a(m)-1 делится на m. Эту терему Эйлер скромно опубликовал в качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”.
История Великой теоремы Ферма
Наконец, мы переходим к изложению самой знаменитой теоремы в истории математики. Эта теорема получила известность как “Великая теорема Ферма” (она же “Большая”, она же “Последняя”). На современном языке это звучит так:
не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место равенство
(*)
при n>2.
Разумеется, никакого уравнения у Ферма не было. Он вообще не знал знака равенства, а использовал латинское eq. Приводим утверждение Ферма в оригинальном виде:
“Куб, однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата и вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две того же названия невозможно разделить”. И не поставив точку, Ферма приписал: ”я открыл поистине удивительное доказательство этого предложения. Но оно не умещается на узких полях“.
Она-то, эта запись, и явилась причиной последующей грандиозной суматохи вокруг теоремы.
Этой фразой Ферма прокомментировал задачу из Диофанта: “Заданный квадрат разложить на два квадрата”. Данное замечание является вторым по счету из сделанных им на полях “Арифметики”. Первое касалось житейских тем.
Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями с двумя неизвестными) вида x2+y2=z2 интересовали древних греков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (и находили) тройки целых чисел, образующие стороны прямоугольного треугольника. Это означает, что при n =1, 2 уравнение (*) имеет бесчисленное множество решений. Догадка Ферма заключалась в том, что при всех прочих n таких троек не существует.
В отношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую теорему” при n=4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственное теоретико-числовое доказательство Ферма, дошедшее до наших дней. На протяжении 20 лет Ферма упорно старался привлечь внимание математиков к “Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве задач. Случай n=3 он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659 г.) пишет, что доказал теорему для n=3 методом спуска. Между тем “Великую теорему” для общего случая n>2 Ферма сформулировал только один раз в упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни в одном из писем. Он предлагает только частные случаи (n=3, 4), в отношении которых уверенно говорит, что располагает доказательством. Даже в письме к де Каркави от 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основные достижения, о “Великой теореме” в общем виде нет ни слова. Это может означать только одно: Ферма обнаружил пробелы в своем “поистине удивительном доказательстве”, которые так и не смог устранить.
Разумеется, это не охладило потомков. Начиная с конца XVII в. началась невиданная по своей напряженности гонка за доказательством “Великой теоремы Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обрекла тысячи поклонников математики на бесплодные поиски доказательства или опровержения теоремы. Более ста лет никому из ученых не удавалось продвинуться вперед даже при рассмотрении частных случаев конкретных значений показателя n.
Первый серьезный результат был получен Эйлером (1768). Он показал, что случай n=4 уникален. Это единственный частный вариант “Великой теоремы ”, когда доказательство имеет вполне элементарный характер. Уже при n=3 возникают значительные осложнения. Настолько существенные, что появляется повод в очередной раз сомневаться в честности Ферма. Эйлер доказал теорему для случая n=3, рассматривая комплексные числа вида , где a, b - целые числа. Строго говоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел на числа вида . В частности он предполагал единственность разложения таких чисел на простые множители. Для устранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились принципиально новые алгебраические абстракции: числовые кольца и поля. Реализацию этой программы начал Гаусс, которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” для n=3.
Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно в атмосфере острого соперничества два француза: Лежен Дирихле и Лежандр (1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Ферма была доказана для следующего простого показателя n=7. Это удалось благодаря титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, что доказал теорему для всех простых показателей n>3. Однако бдительный Лиувиль сразу же обнаружил в рассуждениях Ламе ошибку, сходную с той, которую допустил Эйлер. Ламе был вынужден признать свое поражение.
Пока во Франции происходили эти события, в Германии молодой математик Куммер упорно занимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, он пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложение на простые множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданию головокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются в специальном разделе алгебры под названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать “Великую теорему Ферма” для всех простых показателей n<100. В 1857 г. ему была вручена премия Французской академии наук в размере 3 тыс. франков. Работы Куммера окончательно похоронили надежды на возможность доказательства теоремы Ферма элементарными средствами. Стало ясно, что Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в общем виде.
После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не происходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера, получил в явном виде некие условия, позволяющие проверять истинность теоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательство теоремы для конкретного n свелось к чисто вычислительным проблемам, с которыми легко справляются современные ЭВМ. В результате, к концу семидесятых годов двадцатого века, “Великая теорема Ферма” была доказана для всех n<100000. Это очень большое число, но это еще не все n, а значит “Великая теорема Ферма” не доказана и не опровергнута.
“Великая теорема” обернулась проклятием для десятков, может быть сотен тысяч людей, имевших несчастье вникнуть в ее формулировку и заразиться желанием испытать свои силы. Вступившие на эту стезю уже не внимали никаким доводам рассудка. Иллюстрацией может служить анекдотичная телеграмма, пришедшая в Президиум АН СССР: “Доказал теорему Ферма. Основная идея перенести игрек энной в правую часть. Подробности письмом”.
Ведущие математики всех времен и народов неоднократно объясняли, что элементарное доказательство теоремы Ферма, во-первых, не существует, а во-вторых, не будет иметь никакого значения для науки. Оно всего лишь закроет проблему. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, что при попытках ее доказательства были выкованы мощные средства, приведшие к созданию новых обширных разделов математики.
Движение “ферматистов” приняло невероятный размах, после того, как в 1908 г. немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Право присуждения премии предоставлялось Гетингенской академии Германии. Немедленно тысячи людей стали бомбардировать научные общества и редакции журналов рукописями, якобы содержащими доказательство “Великой теоремы”. Только в Геттингенское математическое общество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи “доказательств”. Педантичные немцы даже заготовили бланки: “Ваше доказательство содержит ошибку на стр. ____, которая заключатся в том, что ____________”.
После первой мировой войны во время инфляции премия Вольфскеля обесценилась, но поток доказательств не прекратился.
В то время в кругу математиков появилось полупрезрительное прозвище - ферматист. Так называли всякого самоуверенного выскочку, которому не хватало знаний, но зато с лихвой хватало амбиций для того, чтобы второпях попробовать силы в доказательстве Великой теоремы, а затем, не заметив собственных ошибок, гордо хлопнув себя в грудь, громко заявить: "Я первый доказал теорему Ферма!".
Финал этой истории банален. В 1993 г. все ведущие информационные агентства передали сообщение о том, что двум американским математикам удалось доказать теорему Ферма в общем виде.
Апории Зенона Современники упоминали 40 апорий Зенона, до нас дошли 9, из них наиболее известны 4, обсуждаемые у Аристотеля.
Ахиллес и черепаха— одна из апорий Зенона.
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди на некотором расстоянии от него.
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха проползёт 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Дихотомия (апория)
Дихотомия — одна из апорий Зенона Элейского, утверждающая логическую невозможность движения.
Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Эта апория основана на бесконечной делимости пространства и предположении, что для совершения бесконечного количества действий необходимо бесконечное время.
Из-за того что ситуация сформулирована словесно, а потому допускает различные толкования, имеются разные объяснения, но математическое объяснение гласит: «Так как меньшие отрезки проходятся за меньшее время, то общее время равно сумме сходящегося ряда 1/2+1/4+1/8+…, то есть единице.»
Стрела
«Стрела» — одна из апорий Зенона Элейского, утверждающая логическую невозможность движения.
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть покоится всегда.
Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц.
Современные представления рассматривают стрелу в пространстве с введенными скоростными размерностями и тем самым решают софизм. В таком пространстве движущийся объект не идентичен неподвижному. Впрочем, с точки зрения современной науки, в этой апории есть доля правды (
Стадион
Пусть по стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, но в противоположных направлениях. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 обозначает неподвижные массы, ряд В1, В2, В3, В4 — массы, движущиеся вправо, а ряд Г1, Г2, Г3, Г4 — массы, движущиеся влево. Будем теперь рассматривать массы Аi, Вi, Гi как неделимые. В неделимый момент времени Вi и Гi проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы в неделимый момент времени некоторое тело проходило бы более одной неделимой части пространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, то можно было бы разделить неделимую часть пространства.
Рассмотрим теперь движение неделимых Вi и Гi друг относительно друга: за два неделимых момента времени Вi пройдёт две неделимые части Аi и одновременно отсчитает четыре неделимые части Гi, то есть неделимый момент времени окажется делимым.
Апория направлена против представления о мере отрезка как о сумме мер неделимых.
4. ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДА И ЕЕ ПОСТУЛАТЫ.
ЭВКЛИД (Euclid c.356-300 ВС)
Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.
Евклид и его «Начала».
В течение 2 тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Об этом человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. Человек исчез, растворился в веках, остался лишь его труд «Начала».
Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам. Первая книга начинается с 20 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины, прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек; и, наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолженные, не встречаются. Здесь же формулируются пять геометрических постулатов. Вот первые четыре:
Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию;
Чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неограниченно;
Чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом;
Чтобы все прямые углы были равны между собой.
Все четыре постулата очень просты по содержанию. Евклид постулирует здесь абсолютно естественные, понятные истины. Все хорошо. И … . Следует пятый постулат.
«Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей, сумма внутренних углов меньше 1800, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и, притом, с той стороны, с которой эта сумма меньше 1800».
5. СИСТЕМА АКСИОМ. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ.
Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства. Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом различными способами. Однако важно, чтобы принятый набор аксиом был минимальным и достаточным для доказательства всех остальных геометрических свойств. Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы должны будем доказывать заменённую аксиому, так как она теперь уже не аксиома, а теорема.
Исторический процесс развития взглядов на существо математики как науки привел к формированию фундаментальной концепции аксиоматического метода и понятия аксиоматической теории. Суть их состоит в следующем. Выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Вместе с тем, все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть строго определены через первоначальные неопределённые понятия и через понятия, смысл которых был определён раньше. Высказывания, определяющее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определён, носит название определяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить все первоначальные понятия геометрии: точки, прямой, плоскости и т.д. Но совершенно ясно, что эти понятия должны определяться через какие-то другие, те в свою очередь, должны опираться на следующие понятия, и так далее, так что процесс бесконечен. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории не определяются.
Совершенно аналогична ситуация и с утверждениями о первоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все истинные утверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, при их доказательстве, в свою очередь, - на следующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Совокупность аксиом обозначается буквой . Вопрос о том, какие утверждения о первоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е. такие утверждения, которые многократно подтверждались практическим опытом человечества.
Суть аксиоматического построения математической теории состоит в том, что сначала выбирается ряд первоначальных понятий, который не определяются и используются без объяснения их смысла. Ранее, формулируется ряд первоначальных утверждений. Об этих первоначальных понятиях, которые принимаются без доказательства и которые называются аксиомами. Наконец, исходя из выбранной системы аксиом, доказывают новые утверждения о первоначальных понятиях, а также о понятиях, которые определяются в процессе развития аксиоматической теории. Эти доказываемые утверждения называются теоремами, а совокупность всех теорем, выводимых (доказываемых) из данной системы аксиом, называется аксиоматической теорией, построенной на базе этой системы аксиом.
6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
В математике доказа́тельством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.
Формальными доказательствами занимается специальная ветвь математики — теория доказательств. Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, поскольку для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают очень много места. Обычно доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства: все утверждения доказываются исключительно логическими способами. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между разными объектами и теоремами; тем не менее, все эти средства используются учёными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут основываться на таких средствах. Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень подробными в расчёте на то, что подготовленный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательства гарантируется тем, что его можно представить в виде записи на формальном языке (это и происходит при компьютерной проверке доказательств).
Ошибочным доказательством называется текст, содержащий логические ошибки, то есть такой, по которому нельзя восстановить формальное доказательство. В истории математики были случаи, когда выдающиеся учёные публиковали неверные «доказательства», однако обычно их коллеги или они сами довольно быстро находили ошибки. (Одна из наиболее часто неправильно доказывавшихся теорем — Великая теорема Ферма. До сих пор встречаются люди, не знающие о том, что она доказана, и предлагающие новые неверные «доказательства».[источник не указан 258 дней]) Ошибочным может быть только признание доказательством «доказательства» на естественном или формальном языке; формальное доказательство ошибочным не может быть по определению.
Отправлено: 11.12.19 12:09. Заголовок: 25 апреля Верховный ..
25 апреля Верховный суд рассмотрел странное дело: истец — некий математик — обратился в суд, потому что по его мнению директор Института математики Национальной академии наук проигнорировал его научное открытие.
Так, истец утверждает, что он доказал знаменитую теорему Ферма и привел новые сведения о «квадратуре круга и его значения». Однако, как он утверждает в своем иске, уже почти два года директор Института математики игнорирует его «прорыв в науке» и отказывается давать свою рецензию на его научные труды, пишет «Страна» со ссылкой на материалы суда.
Судиться за теорему Ферма математик начал еще осенью 2017 года. Тогда иск рассматривал Шевченковский суд столицы. В обосновании иска указал, что он сделал научное открытие в области математики — доказал теорему Ферма. 29 сентября 2017 его научная работа была направлена директору Института математики Национальной академии наук Украины с просьбой предоставить рецензию на указанную работу, которая была получена адресатом 2 октября 2017. Между тем, ответа истцу так и не было предоставлено, что по его мнению нарушает его права на научное творчество, результаты интеллектуальной деятельности. Поэтому, истец вынужден обратиться в суд. Исковые требования математика были оставлены без удовлетворения.
Верховный суд также решил не вдаваться в научный анализ математических выкладок истца, по формальным причинам счел этот иск малозначительным и отказал в удовлетворении. Высшая судебная инстанция согласилась с апелляционным и районным судом, что в законодательстве не предусмотрено обязательное предоставление рецензий по требованию и не прописано, как они должны оформляться.
Следует отметить, что за оригинальное доказательство теоремы Ферма вручается Абелевская премия. Денежный размер премии сопоставим с размером Нобелевской премии и составляет 6 млн норвежских крон (€750 тыс. или $1,06 млн). Теорему Ферма уже много лет пытаются доказать многие ученые и аматоры. В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта.
Отправлено: 11.12.19 12:18. Заголовок: 20 февраля 2019 Те..
[СУНЦ МГУ, Олимпиадная математика] [2018–2019] 20 февраля 2019 Теорема Ферма-Эйлера Теорема. Натуральное число n представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда все его простые делители вида 4k + 3 входят в разложение в четных степенях. Лемма 1. Пусть p > 2 простое число. Сравнение x 2 ≡ −1 (mod p) разрешимо тогда и только тогда, когда p = 4k + 1. (Задачи, следующие после очередной леммы, сформулированы в обозначениях этой леммы.) 1. Пусть x — ненулевой остаток по модулю p. Назовем четверкой набор чисел x, −x, x−1 , −x −1 . Докажите, что различные четверки не пересекаются. Таким образом, четверки образуют разбиение множества ненулевых остатков на классы эквивалентности. 2. Бывает ли так, что внутри четверки некоторые числа совпадают? В каких случаях это может произойти? Рассмотрите все варианты. 3. Посчитайте все четверки чисел по модулю p для случаев p = 4k+1 и p = 4k+3. Докажите Лемму 1. Лемма 2. Пусть p = 4k + 1. Тогда при некоторых a и b выполняется p = a 2 + b 2 . Пусть s 2 ≡ −1 (mod p), M = {0, 1, 2, . . . , [ √p]}, x, y ∈ M. 4. Докажите, что количество различных пар чисел (x, y) больше p. 5. Докажите, что найдутся такие пары (x1, y1) 6= (x2, y2), для которых выполнено x1 + sy1 ≡ x2 + sy2. 6. Пусть a = x1 − x2, b = y1 − y2. Докажите, что a 2 + b 2 ≡ 0 (mod p). 7. Докажите, что a 2 + b 2 = p. Лемма 3. Пусть некоторые m, n представимы в виде суммы двух квадратов. Тогда их произведение m · n тоже представимо. 8. Рассмотрим два комплексных числа z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2. Вычислите |z1z2| 2 двумя способами и докажите Лемму 3. Лемма 4. Пусть n = a 2 + b 2 , p = 4k + 3, n · · · p. Тогда a · · · p и b · · · p. 9. Воспользуйтесь Леммой 1 и докажите Лемму 4. 10. Следствие. Пусть n = a 2 + b 2 , p = 4k + 3, n · · · p. Тогда n · · · p 2 . 11. При помощи Лемм 2–4 докажите Теорему.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ Важинский Н.П. Важинский Николай Павлович – кандидат философских наук, академик, Украинская академия оригинальных идей, отдел фундаментальных исследований, Восточное отделение Украинской академии оригинальных идей, г. Харьков Аннотация: в статье приводится доказательство Великой теоремы Ферма средствами элементарной математики, следствием которого стало открытие геометрических параметров единичных n-мерных пространств, что дало возможность доказательно опровергнуть гипотезу Эйлера и доказать, что минимальное количество целочисленных слагаемых равно 2-м для 2-й степени, 3-м для 3-й и 4-й и 15-ти для 5-й степени, а для степеней выше 5-й в целых числах решения не существует. И еще одним следствием стало доказательство гипотезы Била. Ключевые слова: Великая теорема Ферма, факториал, геометрические параметры единичных n-мерных пространств, гипотеза Эйлера, гипотеза Била. Чтобы доказать, что +
N n , обозначим сумму площадей единичных квадратов как , а сумму периметров единичных квадратов как . При n = 2 значение =
, а = 4
. Т. е. +
∨
+
∨ + =
. При n = 3 значение = 6
, а = 24
. Разлагая куб на два куба, имеем
∉ N и
∉ N. Разлагая куб на три куба, имеем
+
+
=
∨ + + =
. Двойные кубы и квадраты становятся одинарными за счет удвоения отрезков на стыках единичных квадратов. Т. е. min количество слагаемых при n = 3 для (x, y, w, z) N равно 3. Очевидно, что при n также будет и 24, т. е. и количество слагаемых будет 3. Отсюда +
N n СЛЕДСТВИЯ: 1. Складывается начало ряда
;
∨
;
… Продолжая закономерность, получаем ряд: 2!2
; 3!
; 4!
; 5!
; 6!
; 7!
… ∨
;
;
;
;
;
… Очевидно (по аналогии с разложением куба на три слагаемых), что нечетные сомножители определяют min количество слагаемых. Значит, помимо проблемы 4-х кубов математика получает проблемы 4-х четвертых степеней, 16-ти 5-х степеней. 2. Т. к. единичный квадрат ограничен по периметру ( ) 4-мя отрезками (1-мерное пространство), а 1- мерное пространство ограничено 2-мя нулевыми пространствами ( ) (т. е. точками), и единичный куб ограничен 6-ю квадратами ( ) (2-мерное), то складывается таблица: Таблица 1. Геометрические параметры единичных n-мерных пространств n 0 1 1 2 1 2 8 4 1 3 48 24 6 1 4 384 192 48 8 1 5 3840 1920 480 80 10 1 6 46080 23040 5760 960 120 12 1 7 645120 322560 80640 13440 1680 168 14 Нулевое пространство (т. е. точка) не ограничено ничем, т. е. это неограниченное пространство (точка = ), что имеет не только математический и физический смыслы, но и глубокий философский, мировоззренческий смысл. [1, с. 87]. Выделенные жирным шрифтом числа свидетельствуют, что при n = 2 возможны два слагаемых (4/2= 2), а при n = 3 возможны три целочисленных слагаемых (24/3 =
) за счет удвоения периметров квадратов, поскольку линии могут накладываться друг на друга, совпадая всеми точками. Числа 48 (/16 =3), где n = 4 (тоже 3 слагаемых, что доказательно опровергает гипотезу Эйлера, утверждавшую, что уравнение + +
= не имеет натуральных решений a, b, c, d), и 480 (/32 = 15), где n = 5 (количество слагаемых = 15) дают целочисленные слагаемые за счет удвоения площадей кубов, т. к плоскости тоже совпадают всеми точками. А при n = 6 и при n = 7 подчеркнутые числа целочисленных значений не дают, поскольку удвоение объемов физически невозможно, так как кубы соприкасаются только одной гранью. Т. е. целочисленные слагаемые возможны только для первых пяти степеней. 3. Таблица 1 является еще одним доказательством Великой теоремы Ферма и имеет глубоко природный характер, так как представляет собой разновидность треугольника Паскаля, что наглядно проявляется при делении диагоналей таблицы на числа: 2, 8, 48, 384, 3840, 46080 и т. д. Эти числа получаются при последовательном умножении 4 2 = 8; 8 6 = 48; 48 8 = 384; 384 10 = 3840; 3840 12 = 46080; 46080 14 = 645120; 645120 16 = 10321920 и т. д. Таблица 2. Связь с треугольником Паскаля 1-я диаг. /2 2-я /8 3-я /48 4-я /384 5-я /3840 2 1 8 1 48 1 384 1 3840 1 4 2 24 3 192 4 1920 5 23040 6 6 3 48 6 480 10 5760 15 80640 21 8 4 80 10 960 20 13440 35 215040 56 10 5 120 15 1680 35 26880 70 483840 126 12 6 168 21 2688 56 48384 126 967680 252 Гипотеза Била: если верно равенство Ax + By = Cz , где (A, B, C) N, а (x, y, z) 2 и N, то A, B, и C имеют общий делитель (d). Сумму Ax + By = Cz можно представить в виде отрезка прямой. C z является суммой равных отрезков , , … , … . Расстояние от места, где заканчивается A x и начинается B y до места, где стыкуются между собой отрезки С, обозначено на рисунке как f. Рис. 1. Графическая схема суммы A x + By = Cz При f d = 1, а A, B,C взаимно простые числа и x = y = z = 2. В этом случае в силу вступает доказательство Великой теоремы Ферма. При f = 0 не может быть d = 1, а только d . А показатели степеней (x, y, z) и основания степеней (A, B, C) не могут быть взаимно простыми числами, что приводит к возникновению наибольшего общего делителя – D . Если мы принимаем, что A x B y , то A x = D ∨ D A x . В результате сокращения получаем a =
, b =
,c =
. Их взаимосвязь можно представить в виде следующей таблицы: Таблица 3. Взаимосвязь a =
, b =
,c =
.
+ =
b c =a + b d d=f(b) d=f(c) D =y=z=2 - - - 1 - - 1
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ = + =
1 1 2 2 d = c D= =
+ =
+ =
+ =
1 8 9 3 d = D=
+ = + = 1 1 7 9 8 28 7 7 d =b d =
D=
+ = + = 1 81 16 544 = (
17) 17 625 17 17 d =
d = c D= = D=
= + = 16 19 27 19 d = b D=
При достаточном количестве примеров можно вывести закономерность увеличения d и его зависимость от b и с. Выводы 1. Окончательная точка в проблематике, связанной с Великой теоремой Ферма будет поставлена, когда будут найдены закономерности сумм 3-х и 4-х квадратов, 4-х и 5-ти кубов и 4-х степеней, а также 15- ти и 16-ти 5-х степеней. 2. Возможности элементарной математики в решении фундаментальных проблем далеко не исчерпаны. Список литературы 1. Важинский Н.П. Основы философии: методическое пособие для ученых и преподавателей. Харьков: КП «Городская типография», 2019. 117 с.
Отправлено: 11.12.19 14:55. Заголовок: Почему доказательств..
Почему доказательство Великой теоремы Ферма не нуждается в улучшениях. В течение десятилетий, прошедших после появления знакового доказательства великой теоремы Ферма, появилось несколько идей по поводу того, как сделать его ещё более надёжным. Однако эти попытки отражают глубокое непонимание того, что делает доказательство важным. 23 июня исполнилось 25 лет с момента взбудоражившего всех объявления от Эндрю Уайлса, в котором он заявил о получении доказательства великой теоремы Ферма – наиболее известной в математике задачи возрастом 350 лет. История, окружающая доказательство Уайлса – семь лет он тайно работал над этим проектом, разрыв в доказательстве, обнаружившийся после июньского объявления, элегантное решение, опубликованное год спустя в совместной работе, написанной Уайлсом вместе с его бывшим студентом Ричардом Тэйлором, получение рыцарского звания в 2000 – вошло в анналы математических легенд.
После прорыва Уайлса часто можно услышать рассуждения о наступлении новой «золотой эры» в математике, особенно в теории чисел – области, к которой и принадлежит теорема Ферма. Методы, представленные Уайлсом и Тейлором, сегодня являются частью инструментария специалистов по теории чисел, считающих историю Великой теоремы закрытой. Но эта история тронула не только специалистов по теории чисел.
Мне неожиданно напомнили об этом события 2017 года, когда в промежуток из нескольких дней два логика, делавших доклад на двух разных континентах, указали на способы улучшения доказательства Теоремы – и рассказали о том, насколько удивились их коллеги, когда специалисты по теории чисел не выказали к их идеям никакого интереса.
Логики выражали эти идеи на языках своих соответствующих специальностей – теории множеств и теоретической информатики. Сделанные ими предложения по сути своей были истинными, и, возможно, когда-нибудь поднимут новые вопросы, не менее интересные, чем у Ферма. Однако мне сразу же стало ясно, что эти вопросы не имеют отношения к специалистам по теории чисел, и любые иные предположения отражают глубокое непонимание природы доказательства Уайлса и целей теории чисел в целом.
Корни этого непонимания можно обнаружить в простоте утверждения Теоремы, которая и отвечает за большую часть её привлекательности: если n – любое положительное целое число, большее 2, то невозможно найти три таких положительных числа, a, b и c, что:
Это ярко контрастирует с тем случаем, когда n равно 2: любой человек, изучавший евклидову геометрию, вспомнит, что 32 + 42 = 52, что 52 + 122 = 132, и так далее (этот список бесконечен). За последние несколько столетий математики пытались объяснить наличие такого контраста, и каждый раз терпели неудачу, оставляя, однако, за собой целые новые ветви математики. Среди этих ветвей – крупные области современной теории чисел, привлечённой Уайлсом для своего успешного решения, а также множество фундаментальных идей в каждой части науки, затронутой математиками. И однако никто до Уайлса не мог доказать утверждение Ферма.
Специалисты по информатике недавно ощутили радостное возбуждение, узнав о прогрессе, достигнутом в автоматическом подтверждении доказательств – амбициозной попытке реализовать формалистский подход к математике на практике. Для формалистов, математическое доказательство – это список утверждений, удовлетворяющих строгим ограничениям: Заявления в начале списка должны включать в себя общепринятые идеи. В строгой интерпретации сюда входят только аксиомы формальной теории множеств, обычно из формальной системы, известной, как ZFC (система Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). Это совершенно непрактично, поэтому мы также разрешаем включать сюда уже доказанные теоремы – к примеру, Великую теорему для случая n=4, который уже сам Ферма доказал в XVII веке. Каждое следующее утверждение должно получаться применением правил логической дедукции к предыдущим утверждениям. Наконец, доказанная теорема должна быть на последнем месте в списке.
Математическую логику разрабатывали в надежде установить математику на прочную основу – как аксиоматическую систему, свободную от противоречий, которая способна рассуждать, не скатываясь в нелогичность. Хотя работа Курта Гёделя показала несбыточность этой мечты, многие философы от математики, а также некоторые логики (небольшое, но активное меньшинство, если верить специалистам по теории множеств), всё ещё относятся к ZFC и упомянутым требованиям, как к некоей конституции от математики.
Однако математики никогда не записывают доказательства таким способом. Логический анализ доказательства Уайлса указывает на множество шагов, не учитывающих ZFC, тая в себе потенциал для скандала: если математики придумывают правила, не проверяя их на конституционность, откуда они знают, что все они имеют в виду одно и то же?
Автоматическая проверка доказательств, кажется, предлагает решение этой проблемы. Она подразумевает переформулировку доказательства через набор раздельных заявлений, каждое из которых записано непротиворечивым языком, который компьютер может считать, а затем и подтвердить конституционную верность каждого шага. Этот трудоёмкий метод с успехом применялся ко многим длинным и сложным доказательствам, наиболее известное из которых – доказательство гипотезы Кеплера о наиплотнейшей упаковке сфер, сделанное Томасом Хейлсом. Проверка доказательства Уайлса давно считалась одной из главных целей. Поэтому мой друг, специалист по информатике, был искренне разочарован, что поиски «чистых математиков, безапелляционно поддерживающих использование автоматических инструментов в построении их аргументов», как он это сформулировал, пока не дают результатов. https://habr.com/ru/post/461179/
"Арифметика" Диофанта издания 1670 года, в котором в основной текст включена и печально известная заметка Ферма. В переводе она звучит так: «Кубу невозможно быть суммой двух кубов, четвёртой степени невозможно быть суммой двух четвёртых степеней, или, в общем, любому числу, представляющему собою степень, большую второй, невозможно быть суммой двух таких же степеней. Я открыл воистину чудесное доказательство этого предположения, для размещения которого здесь эти поля слишком узки».
Первое, что не учитывает это разочарование — что доказательство Уайлса, пусть сложное, имеет простую основу, которую легко объяснить обывательской аудитории. Допустим, что, в противоречие с утверждением Ферма, существует тройка положительных целых чисел a, b, c таких, что
(A) ap + bp = cp
для некоего нечётного простого p (а достаточно рассматривать только простые числа). В 1985 году Герхард Фрей показал, что a, b и c можно перегруппировать в
(B) новое уравнение, под названием «эллиптическая кривая»
со свойствами, которые, как все считали, невозможны. Точнее говоря, уже давно было известно, как выразить эту эллиптическую кривую через
(С) представление Галуа
которое является бесконечным набором уравнений, связанных как с эллиптической кривой, так и друг с другом чёткими правилами.
Связь между этими шагами была хорошо известна в 1985 году. К тому времени большинство специалистов по теории чисел были убеждены – хотя доказательства пока не было – что каждому представлению Галуа можно назначить, опять-таки, по чётким правилам,
(D) модулярную функцию,
что-то вроде двумерного обобщения знакомых из тригонометрии функций синуса и косинуса.
Итоговое звено было получено, когда Кен Рибет подтвердил предположение Жан-Пьера Сера о том, что свойства модулярной функции, заданные формой эллиптической кривой Фрея, подразумевают существование
(E) ещё одной модулярной функции веса 2 и уровня 2.
Однако таких функций существовать не может. Следовательно, не существует ни модулярной функции (D), ни представления Галуа (С), ни уравнения (B), ни решения (A).
Оставалось лишь найти отсутствующее звено между (С) and (D), которое математики назвали гипотезой модулярности.
Это звено было объектом семилетних поисков Уайлса. С нашей текущей точки зрения тяжело в полной мере оценить отважность этого рискованного предприятия. Через двадцать лет после того, как Ютака Танияма и Горо Шимура в 1950-х впервые сообщили о связи между (B) и (D) через (С), математики постепенно пришли к выводу, что это должно быть так. Именно эту надежду высказал в очень популярной работе Андре Вейл, которая идеально вписалась в крайне влиятельную программу Ленглендса, названную в честь канадского математика Роберта Ленглендса. Эта связь была слишком хорошей для того, чтобы не быть правдой. Однако гипотеза модулярности казалась совершенно недостижимой. Объекты типов (С) и (D) были слишком разными.
Специалист по информатике не пояснил, связано ли его разочарование с тем, что специалистам по теории чисел было неважно, что доказательство было ограничено поисками критически важного звена между (С) и (D), или что оно простиралось на всём промежутке от (A) до (E). Не буду пытаться разобраться в этом. Но если логикам нужно было только формально подтвердить опубликованное доказательство связи между (С) и (D), то их ожидания были слишком завышенными. Во-первых, Уайлс доказал лишь чуть более, чем достаточно для того, чтобы гипотеза модулярности завершала дедукцию «от (A) до (E)». Полную гипотезу модулярности установили несколько лет спустя Кристоф Бройль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тэйлор. Но это не бросает тень на работу Уайлса! Наоборот, то, что такое большое количество ведущих мировых специалистов по теории чисел пошли по стопам работы Уайлса всего через несколько месяцев после её появления, говорит о её богатстве.
К примеру, чуть позже, осенью 2016 года, 10 математиков встретились в Институте передовых исследований в Принстоне, Нью-Джерси, и смогли доказать наличие связи между эллиптическими кривыми и модулярными функциями в новых условиях. Все они использовали разные пути для понимания структуры доказательства Уайлса, появившегося, когда некоторые из них ещё были детьми. Если бы их попросили описать это доказательство в виде последовательности логических выводов, они, несомненно, выдали бы 10 разных его вариантов. Каждый из них напоминал бы путь от (A) до (E), описанный выше, но был бы гораздо более детальным.
Тем не менее – и это всегда упускают из философского взгляда на доказательства – каждый из этих десяти приписал бы авторство своего доказательства Уайлсу. Они бы ссылались на них тем же образом, что и на другие доказательства, изучаемые ими в разъяснительных статьях или на учебных курсах, которые они посещали или которые преподавали. И хотя каждый из десяти опустил бы какие-нибудь детали, в целом все они были бы правы.
Что же такое доказательства Уайлса, если оно может иметь так много разных вариантов? В математической философии принято относиться к опубликованному доказательству, как к приближению к идеальному формализованному доказательству, которое в принципе можно проверить на компьютере, применяющем правила формальной системы. Идеальное доказательство не загрязняется ничем, что находится за пределами формальной системы – так, будто бы каждый закон нёс на себе метку, подтверждающую его конституциональную оправданность.
Но такой подход противоречит тому, что сами математики говорят о своих доказательствах. Математики не применяют идеологических или философских лакмусовых тестов, но я убеждён, что большинство моих коллег согласятся с Майклом Фрэнсисом Атья, заявившим, что доказательство – «это итоговая проверка, но не основа чего-либо». Опубликованное доказательство явно не является основой чего-либо.
Уайлс и специалисты по теории чисел, уточнявшие и расширявшие его идеи, несомненно не ожидали получить предложения от двух логиков. Но – в отличие от многих людей, наблюдающих за теорией чисел издалека – они определённо понимали, что к такому доказательству, как к тому, что опубликовал Уайлс, не стоит относиться, как к некоему артефакту в себе. Наоборот, доказательство Уайлса – это стартовая точка открытого диалога, который является слишком неуловимым и живым, чтобы ограничивать его серьёзными пределами, чуждыми данной теме. Теги: великая теорема ферма научный метод логика информатика теория чисел
Аннотация: великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Как показал С. Сингх [1], от Пифагора до П. Ферма, от П. Ферма до Э. Уайлса знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл «удивительное» решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. В предлагаемой работе на базе школьных знаний показана невозможность разложения Х" и Z" на целочисленные множители в уравнении Х" + У" = Z" при n > 2. Это значит, что теорема Ферма не имеет целочисленных решений. Ключевые слова: великая теорема Ферма, метод деления.
THE PROOF OF FERMAT'S GREAT THEOREM BY THE METHOD OF DIVISION Vedernikov S.I.
Vedernikov Sergey Ivanovich - Retired, MOSCOW
Abstract: Fermat's Great Theorem was proven twenty years ago. As shown by Singh [1], from Fermat to Wiles, this famous equation developed math. It would seem that the topic is closed, but many people, not just mathematicians, is haunted by the fact that in 1637 Pierre de Fermat stated that he found "amazing" solution to his theorem, despite the fact that the mathematical knowledge of that time were far from the knowledge of our time. In this paper, on the basis of school knowledge, shows the inability of the decomposition of Х" and Z" for integer multipliers in the equation Х" + У" = Z" when n > 2. This means that Fermat's Great Theorem has no integer solutions. Keywords: Fermat's Great Theorem, division method.
УДК 512.1
Теорема:
для целого натурального числа п > 2 уравнение Х" + У" = Z" не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.
Доказательство.
Имеется Х" + У" = Z", где X, Y, Z, n - натуральные положительные числа.
Z > X >Y - взаимно простые числа, n > 2.
Исходя из того, что уравнение является частным случаем уравнения
Х" + у" = z" и в нём выделяются целочисленные значения X, Z и Y, можно утверждать, что если уравнение Х" + У" = Z" при n > 2 не имеет целочисленных множителей для или , то оно не имеет решений в целых положительных числах.
Рассмотрим порядок выделения множителей числа У2 и целочисленных Z, X на примере Пифагоровой тройки (5; 12; 13). [2]
Имеем: .
Преобразуем выражение:
г 2 - X2 = У2 <-» 1 3 2 - 5 2 = 1 2 2 . (1) Разложим ф. (1) на множители:
г + X = Уг ~ 1 3 + 5 = 1 8 ; (2) г - X = У2 ~ 1 3-5 = 8. (3) Сложим почленно ф. (2) и ф. (3): 2 ■ г = У1 + У2 1 8 + 8 = 2 6 ; откуда:
Уг + У2 2(9 + 4) 7 = = = 13' (4)
Вычтем почленно ф. (3) из ф. (2): 2 -Х= ^ - У2 ~ 1 8 - 8 = 1 0 ; откуда:
Ух-Уг 2(9-4)
Из ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в случае п = 2 уравнения Xй + У" = г™ возможно выделение целочисленных множителей У™ и целочисленных значений X и г .
Произведём разложение на множители в уравнении X™ + У™ = г™ при п > 2 . Есть три случая. Посыл общий: чётное число, имеющее множителем 2 ™, при п > 3 , можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Известно, что Ъ в исходном уравнении при чётном п не может быть чётным числом, а X и У одновременно нечётными, поэтому примем Ъ, X - нечётными числами, У - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и У в данном случае нет.
Рассмотрим первый случай, когда п > 2 чётное число. Случай 1.
Ъ, X - нечётные, У - чётное, п - чётное. Имеется:
Хп + Уп = Iй. Преобразуем исходное уравнение:
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. г™^™ = у™. (1)
Разложим на множители ф. (1).
г? + X? = у™ -т (2)
г? - X? = Ут. (3) Поясним суть разложения, заключающуюся в том, что сумма двух нечётных чисел и разность этих же чисел - числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, другое - множителем а в общем случае . Разложение на множители при чётном соответствует ф. (2) и ф. (3), но имеются
два случая: первый, когда имеет множитель 2, а имеет множитель , и когда имеет множитель , а только один множитель 2. Вариантов разложения может быть несколько, но все они соотносятся с этими двумя случаями, отдельно друг от друга рассмотренными здесь. (См. ф. (6) и ф. (11)) Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:
2 . 27 = Уп~т + Ут;
п уп-т.угп
г? = у 2+у ; (4) а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем:
2 ■ хл = уп~т - Ут;
уп-т_ут
X™ =-(5)
Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Ъ и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел У™ _т или Ут имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем 2 ™ " 1 , поскольку У™ -число чётное и имеет множителем минимум одно число При этом и не
могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также !п и Х", что противоречит условию о взаимной простоте 2, X и У.
Поэтому У" " т и Ут должны состоять из различных множителей числа У" в той же степени, в степени п.
Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел У" " т или Ут должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени п, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде:
II + Х^ = 2 ■ У"; (6)
- X? = 2й"1 ■ У2п; (7)
имея в виду, что У" - число нечётное.
п п
Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение и Х2, подставив вместо У" " т значение 2 ■ У", а вместо Ут значение 2 " " 1 ■ У/.
п 2 ■ У" + 2й"1 ■ У," 2 ■ (Уп + 2п~2 ■ У2П) ,
Тг =-1-- =-—-— = У™ + 2™ ■ У";
= 1 2 = 1 ~ 2 -1 = _ 2П_2 ■ У™
2 2 1 2 .
Итак, имеем:
г? = У^ + 2П~2 ■ У2П; (8) = У/1 - 2П~2 ■ У2П. (9)
п
Поскольку Хг является степенью числа Х ирт чётном п > 4, то его можно разложить на множители.
Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности п - х степеней.
П --(П-2)-(П-1)
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Хг = - У2 "-2 ■ У2 ) ■ (У™" 1 + • • • + 2 П ■ У" " (10)
Нечётное число в степени п можно представить разностью квадратов чётного и нечётного чисел столько раз, сколько найдётся сочетаний пар множителей, составляющих это число. При этом для каждой пары множителей возможен только один вариант разложения, только с одной определённой парой чисел, составляющих разность и сумму, где разность этих чисел - один множитель, а сумма - другой. На примере 1 5 3 покажем возможность такого разложения.
Разложим 1 5 3 = 3 3 ■ 53 = 2 7-12 5 = 3 3 75 на два множителя 5 и 675.
Подобным образом можно сделать разложение для 3 и 1125, а также для любого другого сочетания двух множителей числа 1 5 3. Для данного конкретного случая интересно разложение на сочетание п - х степеней множителей, т. е. и . Произведём это разложение.
Предположим, что (Ъ — с) составляет целый множитель, кратный а ". Учитывая, что разложение на целочисленные множители возможно только в одном варианте для этого множителя, запишем как разность квадратов.
а" = (Ъ — с) (Ъ + с) . ф. (12)
При равенстве первых множителей ф. (11) и ф. (12) делаем вывод, что второй множитель ф. (11) равен второму множителю ф. (12), т. е. сумма слагаемых второго множителя ф. (11) равна второму множителю ф. (12).
а™ = (Ь - с) (Ь™- 1 + • • • + с™" ^ = (Ь - с) (Ь + с) . ф. (13) Сократим ф. (13) на (Ь - с). Откуда имеем:
(Ьп_1 + —I- с™-1) Ф (Ь + с). Это значит, что разложение а™ = Ь ™ - с™ по формуле разности квадратов и формуле разности п - х степеней не равнозначно, и, следовательно, ф. (10) показывает невозможность целых положительных множителей X или У1; У2 , следовательно У и г . (Думается, это то самое, «чудесное», в доказательстве Ферма.) Допустим:
г22 + x2 = 2 ™ " 1 ■ У3™; ф . ( 1 4)
г? - x2 = 2 ■ у4™. ф . (1 5 )
Из почленного сложения и вычитания ф. ф. (14) и (15), аналогичным вышеизложенным имеем:
Доказано, что корень к из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является к - ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень есть иррациональное число. Поэтому - число
иррациональное, поскольку другим, меньшим может быть только 1.
п
Следовательно, X? невозможно разложить на целочисленные множители, что однозначно и не допускает другой трактовки, а значит
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. п
X? , и здесь же X™, являются степенью иррационального числа, и уравнение X™ + У ™ = г™ при чётном п > 2 не имеет решения в целых положительных числах.
П/-— — п
При этом особо нужно отметить, что для // 2 ™- 2 = 2 п при нечётном - =2 к + характерен следующий ряд показателей:
п-2 0 4 8 12 16 20 „ 0
--; -; —; —; —; — . . . , где первый показатель - - соответствует
п 2 6 10 14 18 22 ^ г 2
уравнению X 2 + У 2 = г 2 при 2 ? = -^/2° = V! = 1 , что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей. Случай 2.
Ъ; X - нечётные, У - чётное, п - нечётное. Имеем:
Xй + Уп = Iй.
Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат.
п 2 . ^"Пуп у2п _
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
г 2 ™ - X 2 ™ = у2 ™ + 2 ■ X™ ■ У™ = У™ ■ (У™ + 2 ■ X™) . ф. (1) Разложим ф. (1) на множители.
г™ + X™ = У™ + 2 ■ X™; ф. (2) г™ - X™ = у™. ф. (3)
- чётное число, поэтому выразим его как Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом: гп+Хп = 2- (2й"1 ■ У? + Хп);
^п _^п _ 2П ■
Примем:
в виде
I" + Х" = 2 ■ У", где У2" - нечётное число, поскольку целое положительное число можно выразить п - ой степенью другого положительного числа, пусть даже иррационального. Итак, имеем:
I" + Х" = 2 ■ У2"; ф. (4) I" — Х" = 2 " ■ Ух". ф. (5) Сложим почленно ф. ф. (4) и (5). Откуда:
Из ф. ф. (6) и (7) видно, что и не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте I, Х, У; а ф. (6) и ф. (7), а I" и Х" можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности п-х и суммы п-х степеней при нечётном n=2k+1. Разложим на множители ф. (6) и ф. (7).
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Как видно из ф. ф. (8) и (9), I" и Х" нельзя разложить на целочисленные множители, (см. Случай 1), а значит уравнение не имеет решений в
целых положительных числах при нечётном Случай 3.
- нечётные, - чётное, - нечётное. Кроме известного доказательства, что Z в уравнении Х" + У" = I" не может быть чётным числом при чётном п, заключающемся в неравенстве
суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа, возможно ещё одно доказательство этого случая. Имеется:
Х" + У" = I". ф . ( 1 ) Вычтем из левой и правой частей уравнения (1)
Из ф. ф. (8) и (9) следует, что разложение Х" и У" на целочисленные множители невозможно (см. Случай 1), а значит Z не может быть чётным числом в уравнении (1).
Общий вывод: для рационального числа п > 3 уравнение Х" + У" = Z" не имеет решений в целых положительных числах
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Список литературы /References
1. Сингх C. Великая теорема Ферма. М.:МЦНМО, 2000. 286 с.
2. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959. 112 с.
3. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Учеб. Пособие. М. Высшая школа, 1984. 311 с.
Fermat's Last Theorem !!! 1637 !!!! - 2016 !!! I proved on 09/14/2016 the ONLY POSSIBLE proof of the Great Fermat's Theorem (Fermata!). I can pronounce the formula for the proof of Fermath's great theorem: 1 - Fermath's great theorem NEVER! and nobody! NOT! HAS BEEN PROVEN !!! 2 - proven! THE ONLY POSSIBLE proof of Fermat's theorem 3 - Fermath's great theorem is proved universally-proven for all numbers 4 - Fermath's great theorem is proven in the requirements of himself! Fermata 1637 y. 5 - Fermath's great theorem proved in 2 pages of a notebook 6 - Fermath's great theorem is proved in the apparatus of Diophantus arithmetic 7 - the proof of the great Fermath theorem, as well as the formulation, is easy for a student of the 5th grade of the school to understand !!! 8 - Me! opened the GREAT! A GREAT Mystery! Fermath's theorem! (not "simple" - "mechanical" proof)
!!!!- NO ONE! and NEVER! (except ME! .. of course!) and FOR NOTHING! NOT! will find a valid proof of the FGT! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"...гиперСЛОЙ!.... ИМЕЕТ! ...РАЗМЕРНОСТЬ.... на ...единичку...меньше... - чем! тот ОБЪЁМ!!!... который он .....ОКРУЖАЕТ!...." - ....ёёёёёёёёёёёёёёёёёёёё!!!!
!!!слой - это ОБЪЁМ!!!! !!!объём! - это ...тот-же! ОБЪЁМ!!!!
Ярославский государственный технический университет
Доцент
Ремизов Константин Вадимович
Аннотация: В статье представлены элементарные одностраничное и двухстраничное доказательства Великой теоремы Ферма, основанные на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых необходимые условия существования экстремумов в точках экстремумов являются непрерывными функциями. Доказательство теоремы Ферма было получено в 1994 году, раньше доказательства Эндрю Уайлса. В статье приведен перевод доказательства Последней теоремы Ферма на английский язык.
Abstract: The article presents elementary one-page and two-page proofs of Fermat's Great Theorem, based on the properties of extremums of continuous and smooth functions, for which the necessary conditions for the existence of extremums at the points of extremums are continuous functions. The proof of Fermat's theorem was obtained in 1994, before the proof of Andrew Wiles. The article provides a translation of the proof of Fermat's Last Theorem into English.
Ключевые слова: Теорема Ферма; действительные числа; целые и натуральные числа; непрерывные и гладкие функции; математический анализ; экстремумы, максимумы и минимумы функций; необходимые условия существования экстремумов функций Keywords: Fermat's theorem; real, integer, and natural numbers; continuous and smooth functions; mathematical analysis; extremums, maxima, and minima of functions; necessary conditions for the existence of extremums of functions
УДК 510; 511; 517
Вступление
Великая теорема Ферма (или Последняя теорема Ферма), а точнее говоря, гипотеза Ферма — одна из самых популярных теорем (гипотез) математики была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году. На полях перевода «Арифметики» Диофанта Пьер Ферма написал: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы вместить его». Увы, судя по всему, Ферма так и не удосужился записать найденное им «чудесное доказательство».
Формулировка ВТФ доступна для понимания даже школьникам, однако доказательство гипотезы Ферма в общем виде более трёх веков искали лучшие умы человечества. Именно Великая теорема Ферма упорно не поддавалась решению. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Для случая n=4 теорему Ферма доказал сам Пьер Ферма. Первый прорыв в доказательстве ВТФ сделал Эйлер, в 1753 году Эйлер доказал ВТФ для случая n=3. Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n Эйлеру не удалось. В 1825 году ВТФ для случая n=5 доказали Дирехле и Лежандр. Позднее Ламе доказал ВТФ для случая n=7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67. Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Доказана ВТФ была лишь в 1994 году Эндрю Уайлсом (доказательство на 130 страницах было опубликовано в 1995 году).
Над доказательством Великой теоремы Ферма работало немало выдающихся математиков, и их усилия привели к получению многих результатов современной математики. В поисках ее доказательства была открыта значительная часть современной математики. Несмотря на то, что простое и изящное решение этой задачи так и не было найдено, ее поиски внесли значительный вклад во многие области математики, эта задача послужила толчком для целого ряда открытий в области теории множеств и простых чисел.
Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году, но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел, который был устранен с помощью Ричарда Тейлора. В 1995 году был опубликован завершающий вариант доказательства ВТФ.
Великая теорема Ферма (ВТФ) являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и, тем не менее, ее формулировку может понять любой школьник средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал.
Актуальность
Доказательство Эндрю Уайлса, объемом более ста страниц, представленное в конце XX века, очень сложное, а потому понятное лишь узкому кругу специалистов, не поставило окончательную точку в проблеме доказательства теоремы Ферма. До сих пор многие профессиональные математики продолжают ломать голову над смыслом введенных Эндрю Уайлсом синтетических конструкций. Несмотря на то, что в 1995 году Эндрю Уайлсом Теорема Ферма была доказана, эта задача до сих пор входит в число нерешенных математических проблем из-за неистощимого желания математиков найти теперь более простое и изящное решение.
Само доказательство Эндрю Уайлса основано на применении современного аппарата высшей математики отсутствовавшего в эпоху Ферма. Поэтому доказательство Уайлса не могло быть доказательством Пьера Ферма. Математики сходятся во мнении, что Пьер Ферма не доказал свою гипотезу, то есть либо ему показалось что он доказал теорему и он искренне заблуждался, либо в его доказательстве были ошибки и пробелы, которые он не обнаружил, либо Ферма не доказал свою теорему, а на полях книги «Арифметика» Диофанта просто соврал.
Большинство профессиональных математиков считают поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказываются тратить время не только на доказательство ВТФ, но и на рецензирование доказательств ВТФ.
Тем не менее были и математики, которые может быть, в тиши своих кабинетов тоже пробовали осторожно подходить к этой неподъемной штанге, но не говорили об этом вслух, дабы не прослыть ферматистами и не навредить своему высокому авторитету.
К сожалению, остались без ответа следующие вопросы: существует ли элементарное доказательство теоремы Ферма? и доказал ли теорему Ферма сам Пьер Ферма?
Поиску ответов на эти вопросы и посвящена данная публикация.
История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков.
Цели и задачи
Показать, как решение диофантовых уравнений в целых числах можно свести к решению вещественных уравнений и как периодические тригонометрические функции и теорию экстремумов непрерывных и гладких функций можно использовать для решения целочисленных проблем и диофантовых уравнений. Получить элементарное и короткое доказательство ВТФ, понятное школьникам.
Научная новизна
Новизна работы заключается в том, что для решения диофантова уравнения (доказательства теоремы Ферма) применялся математический анализ непрерывных и гладких функций и теория экстремумов функций, иными словами диофантово уравнение было решено с помощью периодических тригонометрических функций (синусоид). Доказательство Великой теоремы Ферма основано на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов являются непрерывными функциями.
Доказательство теоремы Ферма основано на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов непрерывны. В точках, в которых необходимые условия существования экстремумов имеют разрывы, непрерывная и гладкая функция не может иметь экстремум.
Теорема Ферма утверждает, уравнение (1) не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z, n при n>2. Числа x, y, z можно считать попарно взаимно простыми, поскольку в случае, если числа x, y, z имеют общий целый делитель, то на него числа x, y, z можно сократить, сделав их попарно взаимно простыми.
Будем натуральные числа, которые удовлетворяют диофантову уравнению Ферма (1), называть корнями диофантова уравнения Ферма
Запишем вещественную неотрицательную непрерывную и гладкую функцию (2)
Очевидно, что при а = 1 только целые значения переменных x, y, z и n доставляют функции (2) нулевые локальные минимумы. Поэтому корни диофантова уравнения Ферма (1) при а = 1 обращают функцию (2) в ноль. Справедливо и обратное утверждение, что целые значения переменных x, y, z и n , которые при а = 1 доставляют функции (2) нулевые локальные минимумы, являются корнями диофантова уравнения Ферма (1).
Запишем необходимые условия существования экстремума функции (2) в произвольной точке с координатами х и у:
где z определяется зависимостью (3) , причем неизвестно может ли z быть целым. Поэтому невозможно установить могут ли удовлетворяться уравнения (4) и (5), поскольку в эти уравнения входит неопределенная переменная z. Из уравнений (4) и (5) с помощью эквивалентных преобразований можно получить еще одно необходимое условие существования экстремумов (6) непрерывной и гладкой функции (2), содержащее только независимые переменные x и y.
Уравнение (6) можно рассматривать как некоторую неявную функцию ψ(n)=φ(a) в точке экстремума с произвольными координатами x и y. Правая часть уравнения (6), т. е. функция φ(a), при а = 1 в точках экстремумов с целыми значениями координат x и y не определена (имеет место неопределенность типа 0/0). Функция φ(a) в этой точке имеет разрыв первого рода. Чтобы необходимое условие существования экстремума (6) функции (2) в точке экстремума было непрерывным, надо значение функции φ(a) в точке а = 1 доопределить значением, равным пределу функции φ(a) при a → 1. Раскроем предел функции φ(a) при a → 1 и целых x, y по правилу Лопиталя и получим диофантово уравнение-ограничение (7) для определения значений n, при которых необходимое условие существования экстремумов (6) функции (2) будет непрерывным. Если значение n при а = 1 не будет равно пределу функции φ(a) при a → 1, то необходимое условие существования экстремумов (6) будет иметь разрыв и не будет непрерывным. Значение n при а = 1 определяется из диофантова уравнения Ферма (1)
Диофантово уравнение-ограничение (7) в случае попарно взаимно простых целых x и y имеет решение n = 2. Необходимое условие существования экстремумов (6) функции (2) будет непрерывным, только если n = 2.
Предположим, что имеется целочисленное решение x, y, z и n диофантова уравнения Ферма (1), причем n > 2. Тогда при этих значениях переменных и а = 1 непрерывная и гладкая функция (2) должна иметь нулевой локальный минимум. Но в этом случае необходимое условие существования экстремумов (6) в точках с целыми координатами x и y при n > 2 и а = 1 будет иметь разрыв. Поэтому функция (2) при а = 1, целом n > 2 и целых координатах x и y не может иметь нулевых локальных минимумов, и поэтому при целом n > 2 диофантово уравнение Ферма (1) не будет иметь целых решений.
ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЕОРЕМА ФЕРМА ДОКАЗАНА.
В работах [1, 2, 3, 4] были опубликованы различные варианты доказательства теоремы Ферма, основанного на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов являются непрерывными функциями.
В 1994 году мы направили наше одностраничное доказательство теоремы Ферма, показанное на рис 1., на рецензирование в Ярославский Государственный университет им. П.Г. Демидова. Рецензентом был зав. кафедрой «Дискретной математики» д.ф.-м.н. профессор Бондаренко В.А. Рецензент заявил, что доказательство ошибочное, так как мы в доказательстве делим на ноль. А на ноль делить нельзя! Нельзя! На что я возразил, что мы не делим на ноль, а раскрываем неопределенность типа 0/0 по правилу Лопиталя. На это рецензент заявил, что мы не правильно раскрыли предел, так как не учли зависимость переменных х и у от параметра а. Но это не так, так как мы ищем значение параметра n, при котором в точке с произвольными фиксированными целыми координатами х и у функция (2) будет иметь нулевой локальный минимум, поэтому координаты точки х и у не зависят от параметра а. Других претензий к доказательству у рецензента не было. Таким образам, мы не пришли к единому мнению относительно верности доказательства, мы остались при своих мнениях. Кто из нас прав судить Вам. К сожалению, рецензент не дал письменной рецензии, поэтому о результатах нашей дискуссии можно судить только с моих слов.
После неудачной попытки получить рецензию на наше доказательство в ЯГТУ мы опубликовали одностраничное доказательство теоремы Ферма в Ярославской областной газете «Северный край» за № 189 от 2 ноября 1994 года. И, тишина! Математическое сообщество Ярославля не заметило доказательство теоремы Ферма, точнее говоря, сделало вид, что не заметило.
В интернете есть такой форум: dxdy «Математика» Дискуссионные темы (М); подфорум: Великая терема Ферма. С целью обсуждения нашего доказательство теоремы Ферма, я открыл на этом форуме тему «Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994». Посмотрите, что из этого вышло.
Vadim44
06.11.2017, 13:06
Размещено «Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994», представленное на рис.1.
Provincialka Заслуженный участник Казань
06.11.2017, 13:44
Re: Переход в пределу -- опасная операция. Совсем не всегда дает правильный результат. Это нужно отдельно доказывать.
Shwedka
Заслуженный участник Швеция
06.11.2017, 13:59
Re: Красиво, но неверно. Корни системы (3,4) зависят от а, поэтому при вычислении предела по Лопиталю нужно эту зависимость учитывать. Авторы же дифференцуют в 5, как если бы эти корни не зависели от а.
Provincialka Заслуженный участник Казань
06.11.2017, 14:03
Re: Shwedka О! Точно, а я и не обратила внимание! В общем, хоть и неверно, но зато не банально.
Vadim44
Доказательство и красивое, и верное! Подчеркиваю, что приведенное доказательство краткое (ставилась задача изложить суть доказательства теоремы Ферма на одном листе), поэтому опускались доказательства элементарных и очевидных (на мой взгляд) фактов. Постараюсь популярно объяснить Ваши заблуждения. Да, при вычислении предела переменные х и у осознано полагались не зависящими от параметра а. Если переменные х и у будут зависеть от параметра а, то неявная функция (5), зависящая от четырех переменных х, у и n и a, будет являться необходимым условием существования экстремума функции (2) во всех (любых) точках пространства переменных x и y. В рассматриваемом случае записаны необходимые условия существования экстремума функции (2) в произвольной (одной, фиксированной) точке с целыми координатами x и y. Именно поэтому x и y будут независимыми от параметра a. Эти условия можно обобщить на все точки с целыми координатами. В доказательстве решается задача установления точек, в которых функция (2) не может иметь экстремумы. Для того, чтобы доказать, что в данной точке функция (2) не может иметь экстремум, необходимо показать, что хотя бы одно из необходимых условий существования экстремума при подстановке в уравнение координат этой точки не имело бы решений или имело бы решения, которые (все) не могут быть координатами экстремума функции (2).
Someone Заслуженный участник Москва
19.11.2017, 20:07
Re: Vadim44 Пока Вы не даёте повода усомниться в вашей безграмотности. Вы бы всё-таки почитали учебники.
Lia Модератор
27.11.2017, 22:01
Vadim44 Тема закрывается окончательно. Продолжение ее где-либо еще на этой площадке, как и любое дублирование, категорически запрещено правилами форума.
Совершенно не понятно, какую цель преследуют создатели этого форума. Я не думаю, что создатели форума надеялись мозговым штурмом ферматиков найти утерянное доказательство Пьера Ферма. Скорее всего заслуженные участники форума решили покуражиться над доверчивыми ферматиками, поскольку до 1994 года все они были уверены, что доказать теорему Ферма вообще невозможно, а после 1994 года, что доказать элементарными методами теорему Ферма невозможно. Лучше было бы, чтобы заслуженные участники форума объяснили наивным ферматикам, что теорему Ферма нельзя доказать только с помощью эквивалентных алгебраических преобразований, а доказательство следует искать с использованием теорем теории чисел, что способствовало бы изучению математики.
Следует заметить, что теорему Ферма мы доказали раньше, чем это сделал Эндрю Уайлс, но из-за ошибочной рецензии Бондаренко В.А. мы не получили признания, и чем нам причинен моральный и материальный вред. Потому, что все премии, которые были присуждены Эндрю Уайлсу должны быть нашими. Теперь настало время, когда рецензенты, дававшие отрицательные отзывы и рецензии, должны открыто на страницах журнала «SCI-ARTICLE» повиниться и опубликовать свои опровержения и извинения за ложные и ошибочные отзывы, благо для этого имеются все условия и возможности. Если заслуженные участники форума dxdy, скрытые под никами и псевдонимами, не сделают это сами, за них это должны сделать модераторы форума dxdy. В строительной практике и юриспруденции за ошибочные и ложные экспертные заключения предусмотрена не только моральная, но и уголовная ответственность.
Мы доказали Великую теорему Ферма элементарными методами на одной и на двух страницах. Ее не могли доказать три с половиной века лучшие математики земли. И полная тишина! Неужели нет математиков, которые бы беспристрастно и объективно могли бы оценить верность нашего доказательства. Это саботаж.
В настоящее время некоторые ученые мужи пытаются препятствовать опубликованию нашего доказательства теоремы Ферма, обвиняя нас в плагиате и не оригинальности нашего доказательства. Где у них совесть? О какой неоригинальности может идти речь когда представлено впервые в мире элементарное доказательство Великой теоремы Ферма. Единственным основанием для отказа в публикации нашего доказательства теоремы Ферма может быть только отрицательная рецензия, в которой указаны ошибки. Поэтому просим направить наше доказательство на рецензирование и рецензию опубликовать вместе с самим доказательством теоремы Ферма.
Мы хотели опубликовать статью «Двухстраничное доказательство теоремы Ферма» в престижном «Сибирском математическом журнале», но нам на это ответили так: «Уважаемый Вадим Григорьевич, В связи с отсутствием в составе редколлегии СМЖ специалистов по теории чисел работы, посвященные теореме Ферма, к рассмотрению не принимаются. Всего хорошего, В.Н.Дятлов, Зав. ред. Сибирского математического журнала».
Уважаемые читатели мы надеемся, что Вы примете активное участие в обсуждении нашего доказательства теоремы Ферма на страницах журнала «SCI-ARTICLE».
"... Запишем вещественную неотрицательную непрерывную и гладкую функцию (2) /- О ЧЁМ!!! ЭТО!!!! ВАААААЩЩЩЩЕЕЕЕЕ!!!!/
Очевидно, что при а = 1 только целые значения переменных x, y, z и n доставляют функции (2) нулевые локальные минимумы. Поэтому корни диофантова уравнения Ферма (1) при а = 1 обращают функцию (2) в ноль. Справедливо и обратное утверждение, что целые значения переменных x, y, z и n , которые при а = 1 доставляют функции (2) нулевые локальные минимумы, являются корнями диофантова уравнения Ферма (1). ...."//
Отправлено: 30.07.21 08:14. Заголовок: - а что - ж тогда ..
- а что - ж тогда накрутили англичаны на 250-и страницах своего не "док-ва"`
- Великая Теорема Ферма - говорит о маленьких полях одной! страницы !!! - на 250(ДВЕСТИ аж ПЯТЬДЕСЯТ) страницах непонятной никому "современной математики" - можно крутить только полную туфту-галиматью!`
Вопрос нужно формулировать по-другому : - почему и ... - зачем кое-кто /англыЧАНЫ/ именно - дали мгновенный заказ на всеми-средствами-любой-ценой-"доказательство" ВТФ ещё в 90-х годах (1990!!!) !
Что такое скоро - 20-30 лет - должно произойти , о чём они точно знали ещё в начале 90-х ! , - после чего всякое доказательство всякой ВТФ теряет всякий смысл.
/ формулировка ВТФ - первоИЗточника латинским (педии) - Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. /
Отправлено: 30.07.21 08:25. Заголовок: Что такое скоро - 20..
Что такое скоро - 20-30 лет - должно неизбежно произойти , о чём они точно знали ещё в начале 90-х ! /- как и всё точно задолго ранее знали про 9/11 в НьюЙорке- / , - после чего всякое доказательство всякой ВТФ теряет всякий смысл.
Ответ можно ответить только из сего-дня : - они тогда уже точнее-точного знали , что - весь проект "Человечество" тотально очень скоро закроют на всей Земле пятьДжы!СВЧ!ковидлом-"повидлом".
" ...не! ..могут быть.... одинаковыми..., - А ...СЛЕДОВАТЕЛЬНО..." - что это за логика и где! тут "доказательство" : " не могут быть..." , а вдруг! и МОГУТ БЫТЬ !!!
- I proved on 09/14/2016 the ONLY POSSIBLE proof of the Great Fermat's Theorem (Fermata!). I can pronounce the formula for the proof of Fermat's great theorem: 1 - Fermath's great theorem NEVER! and nobody! NOT! HAS BEEN PROVEN !!! and NEVER!!!! 2 - proven! THE ONLY POSSIBLE proof of Fermat's theorem 2A - Me opened : - EXIST THE ONLY POSSIBLE proof of Fermat's Great Theorem
3 - Fermat's great theorem is proved universally-proven for all numbers 4 - Fermat's great theorem is proven in the requirements of himself! Fermata 1637 y. 5 - Fermat's great theorem proved in 2 pages of a notebook 6 - Fermat's great theorem is proved in the apparatus of Diophantus arithmetic 7 - the proof of the great Fermat theorem, as well as the formulation, is easy for a student of the 5th grade of the school to understand !!! 8 - Me! opened the GREAT! A GREAT Mystery! Fermat's theorem! (not "simple" - "mechanical" proof)
!!!!- NO ONE! and NEVER! (except ME! .. of course!) and FOR NOTHING! NOT! will find a valid proof
Все даты в формате GMT
3 час. Хитов сегодня: 0
Права: смайлы да, картинки да, шрифты да, голосования нет
аватары да, автозамена ссылок вкл, премодерация вкл, правка нет
- участник сейчас на форуме
- участник вне форума