Огненный ветер вы!жигаЕТ им лица, а они- всё ИДУТ вперёд,Огненный жар иЗ!пепеляЕТ им сердца, а они- всё ИДУТ вперёд,Огненный смерч уносит их последнее дыхание, а они- всё ИДУТ вперёд,... укрепляя гору МОГУЧЕЮ СИЛОЮ СВОЕЮ...... и чувство суеверного страха охватывает Халат-Сяхыл: Люди! - идут... в атаку!, - БЕЗ!смертны! ОНИ!
Отправлено: 11.04.17 09:58. Заголовок: доказательствА! великой Теоремы Фермата
Я доказал 14/09/2016 ЕДИНСТВЕННО-ВОЗМОЖНЫМ доказательством Великую Теорему Ферма(Фермата!). Я могу произнести формулу доказательства великой теоремы Фермата : 1 - великая теорема Фермата НИКОГДА! и НИкем! НЕ! БЫЛА ДОКАЗАНА!!! 2 - доказано! ЕДИНСТВЕННО-ВОЗМОЖНОЕ доказательство теоремы Фермата 3 - великая теорема Фермата доказана универсально-доказана для всех чисел 4 - великая теорема Фермата доказана в требованиях самого! Фермата от 1637г. 5-(4.1) - великая теорема Фермата доказана на 2 страницах тетради 6-(4.2) - великая теорема Фермата доказана в аппарате арифметики Диафанта 7 - доказательство великой теоремы Фермата, как и формулировку, легко понять ученику 5-го класса школы!!! 8 - Я! открыл ВЕЛИКУЮ! Тайну ВЕЛИКОЙ! теоремы Фермата !( а не "просто" - "механическое" доказательство)
!!!!- НИКТО! и НИКОГДА!(кроме МЕНЯ!..конеЧно!) и НИ ЗА ЧТО! НЕ! найдёт действительного Доказательства ВТФ!
=========================================== Юрист!!! Пьер де Ферма. Пьер де Ферма (1601-1665) – французский судья и самоучка, известен как автор самой сложной теоремы всех времен. Свою карьеру и жизненный путь Ферма связал с юриспруденцией, и работал в местном парламенте маленького городка Кастр (до 1789 года «парламентом» во Франции называли суды).
Помимо блестящей карьеры в суде, Пьер также увлекался математикой, был самоучкой, черпая свои знания из книг и переписки со своими сверстниками, учеными и философами того времени – Декартом, Паскалем, Бернардом де Бесси и другими. Несмотря на его статус любителя, профессиональные математики ценили переписку с Пьером Ферма и называли его «королем среди любителей». Главный интерес он проявлял к теории чисел, которая в начале 17 столетия стала очень популярной во Франции благодаря новым изданиям трудов древнегреческих математиков. Изучая их, Ферма смог обосновать основные проблемы решения многочисленных задач, которые стали основными для развития классической теории чисел.
Больше всего влияния на Пьера Ферма оказала книга «Арифметика», изучая которую он исписывал поля собственными рассуждениями, впоследствии изменившими развитие математического мышления. В этой книге греческий математик и отец алгебры Диофант Александрийский описывал натуральные числа Пифагора. На основании «Арифметики» Ферма, решая задачи сложных уравнений с несколькими неизвестными, сформулировал легендарное утверждение, позже названное в его честь Великой теоремой Ферма. Доказательство теоремы заняло 1637 - 2016 = около 380 лет.
Наибольший научный вклад Ферма в развитие математики в том, что он обратил внимание на роль, которую занимают простые числа.
Великая теорема Ферма Рассуждения Ферма о натуральных числах были не единственными, и даже не Пифагор первым их обосновал. История исчислений натуральных чисел была известна еще в Шумере и Древней Индии, но только Пифагор записал эти рассуждения в современной математической формуле: x2 + y2 = z2, а Ферма увеличил количество неизвестных: xn + yn = zn.
Особый интерес к натуральным числам возродился в начале 17 столетия, после издания «Арифметики» Диофанта. Эта книга стала особо популярной среди ученых и философов, которые пытались рационально объяснить мироустройство, исключая всякое божественное начало. Среди них был и Пьер Ферма.
Во время чтения «Арифметики» ему в голову пришла идея заменить показатель степени 2 в теореме Пифагора любым другим числом. Тогда он понял: решения такому суждению не существует, и это можно доказать. Но само доказательство не записал из-за отсутствия места в книжке. На страницах книги II, обдумывая задачу 8, Ферма записал только следующее:
«Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».
Доказать выдвинутое утверждение Ферма, что нет простого решения для уравнения, например, 32+42=52, когда n˃2, являющегося целым числом, впоследствии смогли немногие. Сегодня известно, что Ферма доказал отсутствие решения для n = 4. А из его переписки известно, что он также осуществил и доказательство для n = 3, но найти его среди писем не удалось.
Рассуждение Ферма о простых числах стало широко известным после того, как в 1670 году его сын Самюэль опубликовал книгу «Арифметика», но уже с комментариями отца. Путь доказательства занял более чем 2016 - 1637 =... 380 лет.
Отправлено: 11.12.19 12:09. Заголовок: 25 апреля Верховный ..
25 апреля Верховный суд рассмотрел странное дело: истец — некий математик — обратился в суд, потому что по его мнению директор Института математики Национальной академии наук проигнорировал его научное открытие.
Так, истец утверждает, что он доказал знаменитую теорему Ферма и привел новые сведения о «квадратуре круга и его значения». Однако, как он утверждает в своем иске, уже почти два года директор Института математики игнорирует его «прорыв в науке» и отказывается давать свою рецензию на его научные труды, пишет «Страна» со ссылкой на материалы суда.
Судиться за теорему Ферма математик начал еще осенью 2017 года. Тогда иск рассматривал Шевченковский суд столицы. В обосновании иска указал, что он сделал научное открытие в области математики — доказал теорему Ферма. 29 сентября 2017 его научная работа была направлена директору Института математики Национальной академии наук Украины с просьбой предоставить рецензию на указанную работу, которая была получена адресатом 2 октября 2017. Между тем, ответа истцу так и не было предоставлено, что по его мнению нарушает его права на научное творчество, результаты интеллектуальной деятельности. Поэтому, истец вынужден обратиться в суд. Исковые требования математика были оставлены без удовлетворения.
Верховный суд также решил не вдаваться в научный анализ математических выкладок истца, по формальным причинам счел этот иск малозначительным и отказал в удовлетворении. Высшая судебная инстанция согласилась с апелляционным и районным судом, что в законодательстве не предусмотрено обязательное предоставление рецензий по требованию и не прописано, как они должны оформляться.
Следует отметить, что за оригинальное доказательство теоремы Ферма вручается Абелевская премия. Денежный размер премии сопоставим с размером Нобелевской премии и составляет 6 млн норвежских крон (€750 тыс. или $1,06 млн). Теорему Ферма уже много лет пытаются доказать многие ученые и аматоры. В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта.
Отправлено: 11.12.19 12:18. Заголовок: 20 февраля 2019 Те..
[СУНЦ МГУ, Олимпиадная математика] [2018–2019] 20 февраля 2019 Теорема Ферма-Эйлера Теорема. Натуральное число n представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда все его простые делители вида 4k + 3 входят в разложение в четных степенях. Лемма 1. Пусть p > 2 простое число. Сравнение x 2 ≡ −1 (mod p) разрешимо тогда и только тогда, когда p = 4k + 1. (Задачи, следующие после очередной леммы, сформулированы в обозначениях этой леммы.) 1. Пусть x — ненулевой остаток по модулю p. Назовем четверкой набор чисел x, −x, x−1 , −x −1 . Докажите, что различные четверки не пересекаются. Таким образом, четверки образуют разбиение множества ненулевых остатков на классы эквивалентности. 2. Бывает ли так, что внутри четверки некоторые числа совпадают? В каких случаях это может произойти? Рассмотрите все варианты. 3. Посчитайте все четверки чисел по модулю p для случаев p = 4k+1 и p = 4k+3. Докажите Лемму 1. Лемма 2. Пусть p = 4k + 1. Тогда при некоторых a и b выполняется p = a 2 + b 2 . Пусть s 2 ≡ −1 (mod p), M = {0, 1, 2, . . . , [ √p]}, x, y ∈ M. 4. Докажите, что количество различных пар чисел (x, y) больше p. 5. Докажите, что найдутся такие пары (x1, y1) 6= (x2, y2), для которых выполнено x1 + sy1 ≡ x2 + sy2. 6. Пусть a = x1 − x2, b = y1 − y2. Докажите, что a 2 + b 2 ≡ 0 (mod p). 7. Докажите, что a 2 + b 2 = p. Лемма 3. Пусть некоторые m, n представимы в виде суммы двух квадратов. Тогда их произведение m · n тоже представимо. 8. Рассмотрим два комплексных числа z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2. Вычислите |z1z2| 2 двумя способами и докажите Лемму 3. Лемма 4. Пусть n = a 2 + b 2 , p = 4k + 3, n · · · p. Тогда a · · · p и b · · · p. 9. Воспользуйтесь Леммой 1 и докажите Лемму 4. 10. Следствие. Пусть n = a 2 + b 2 , p = 4k + 3, n · · · p. Тогда n · · · p 2 . 11. При помощи Лемм 2–4 докажите Теорему.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ Важинский Н.П. Важинский Николай Павлович – кандидат философских наук, академик, Украинская академия оригинальных идей, отдел фундаментальных исследований, Восточное отделение Украинской академии оригинальных идей, г. Харьков Аннотация: в статье приводится доказательство Великой теоремы Ферма средствами элементарной математики, следствием которого стало открытие геометрических параметров единичных n-мерных пространств, что дало возможность доказательно опровергнуть гипотезу Эйлера и доказать, что минимальное количество целочисленных слагаемых равно 2-м для 2-й степени, 3-м для 3-й и 4-й и 15-ти для 5-й степени, а для степеней выше 5-й в целых числах решения не существует. И еще одним следствием стало доказательство гипотезы Била. Ключевые слова: Великая теорема Ферма, факториал, геометрические параметры единичных n-мерных пространств, гипотеза Эйлера, гипотеза Била. Чтобы доказать, что +
N n , обозначим сумму площадей единичных квадратов как , а сумму периметров единичных квадратов как . При n = 2 значение =
, а = 4
. Т. е. +
∨
+
∨ + =
. При n = 3 значение = 6
, а = 24
. Разлагая куб на два куба, имеем
∉ N и
∉ N. Разлагая куб на три куба, имеем
+
+
=
∨ + + =
. Двойные кубы и квадраты становятся одинарными за счет удвоения отрезков на стыках единичных квадратов. Т. е. min количество слагаемых при n = 3 для (x, y, w, z) N равно 3. Очевидно, что при n также будет и 24, т. е. и количество слагаемых будет 3. Отсюда +
N n СЛЕДСТВИЯ: 1. Складывается начало ряда
;
∨
;
… Продолжая закономерность, получаем ряд: 2!2
; 3!
; 4!
; 5!
; 6!
; 7!
… ∨
;
;
;
;
;
… Очевидно (по аналогии с разложением куба на три слагаемых), что нечетные сомножители определяют min количество слагаемых. Значит, помимо проблемы 4-х кубов математика получает проблемы 4-х четвертых степеней, 16-ти 5-х степеней. 2. Т. к. единичный квадрат ограничен по периметру ( ) 4-мя отрезками (1-мерное пространство), а 1- мерное пространство ограничено 2-мя нулевыми пространствами ( ) (т. е. точками), и единичный куб ограничен 6-ю квадратами ( ) (2-мерное), то складывается таблица: Таблица 1. Геометрические параметры единичных n-мерных пространств n 0 1 1 2 1 2 8 4 1 3 48 24 6 1 4 384 192 48 8 1 5 3840 1920 480 80 10 1 6 46080 23040 5760 960 120 12 1 7 645120 322560 80640 13440 1680 168 14 Нулевое пространство (т. е. точка) не ограничено ничем, т. е. это неограниченное пространство (точка = ), что имеет не только математический и физический смыслы, но и глубокий философский, мировоззренческий смысл. [1, с. 87]. Выделенные жирным шрифтом числа свидетельствуют, что при n = 2 возможны два слагаемых (4/2= 2), а при n = 3 возможны три целочисленных слагаемых (24/3 =
) за счет удвоения периметров квадратов, поскольку линии могут накладываться друг на друга, совпадая всеми точками. Числа 48 (/16 =3), где n = 4 (тоже 3 слагаемых, что доказательно опровергает гипотезу Эйлера, утверждавшую, что уравнение + +
= не имеет натуральных решений a, b, c, d), и 480 (/32 = 15), где n = 5 (количество слагаемых = 15) дают целочисленные слагаемые за счет удвоения площадей кубов, т. к плоскости тоже совпадают всеми точками. А при n = 6 и при n = 7 подчеркнутые числа целочисленных значений не дают, поскольку удвоение объемов физически невозможно, так как кубы соприкасаются только одной гранью. Т. е. целочисленные слагаемые возможны только для первых пяти степеней. 3. Таблица 1 является еще одним доказательством Великой теоремы Ферма и имеет глубоко природный характер, так как представляет собой разновидность треугольника Паскаля, что наглядно проявляется при делении диагоналей таблицы на числа: 2, 8, 48, 384, 3840, 46080 и т. д. Эти числа получаются при последовательном умножении 4 2 = 8; 8 6 = 48; 48 8 = 384; 384 10 = 3840; 3840 12 = 46080; 46080 14 = 645120; 645120 16 = 10321920 и т. д. Таблица 2. Связь с треугольником Паскаля 1-я диаг. /2 2-я /8 3-я /48 4-я /384 5-я /3840 2 1 8 1 48 1 384 1 3840 1 4 2 24 3 192 4 1920 5 23040 6 6 3 48 6 480 10 5760 15 80640 21 8 4 80 10 960 20 13440 35 215040 56 10 5 120 15 1680 35 26880 70 483840 126 12 6 168 21 2688 56 48384 126 967680 252 Гипотеза Била: если верно равенство Ax + By = Cz , где (A, B, C) N, а (x, y, z) 2 и N, то A, B, и C имеют общий делитель (d). Сумму Ax + By = Cz можно представить в виде отрезка прямой. C z является суммой равных отрезков , , … , … . Расстояние от места, где заканчивается A x и начинается B y до места, где стыкуются между собой отрезки С, обозначено на рисунке как f. Рис. 1. Графическая схема суммы A x + By = Cz При f d = 1, а A, B,C взаимно простые числа и x = y = z = 2. В этом случае в силу вступает доказательство Великой теоремы Ферма. При f = 0 не может быть d = 1, а только d . А показатели степеней (x, y, z) и основания степеней (A, B, C) не могут быть взаимно простыми числами, что приводит к возникновению наибольшего общего делителя – D . Если мы принимаем, что A x B y , то A x = D ∨ D A x . В результате сокращения получаем a =
, b =
,c =
. Их взаимосвязь можно представить в виде следующей таблицы: Таблица 3. Взаимосвязь a =
, b =
,c =
.
+ =
b c =a + b d d=f(b) d=f(c) D =y=z=2 - - - 1 - - 1
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ = + =
1 1 2 2 d = c D= =
+ =
+ =
+ =
1 8 9 3 d = D=
+ = + = 1 1 7 9 8 28 7 7 d =b d =
D=
+ = + = 1 81 16 544 = (
17) 17 625 17 17 d =
d = c D= = D=
= + = 16 19 27 19 d = b D=
При достаточном количестве примеров можно вывести закономерность увеличения d и его зависимость от b и с. Выводы 1. Окончательная точка в проблематике, связанной с Великой теоремой Ферма будет поставлена, когда будут найдены закономерности сумм 3-х и 4-х квадратов, 4-х и 5-ти кубов и 4-х степеней, а также 15- ти и 16-ти 5-х степеней. 2. Возможности элементарной математики в решении фундаментальных проблем далеко не исчерпаны. Список литературы 1. Важинский Н.П. Основы философии: методическое пособие для ученых и преподавателей. Харьков: КП «Городская типография», 2019. 117 с.
Отправлено: 11.12.19 14:55. Заголовок: Почему доказательств..
Почему доказательство Великой теоремы Ферма не нуждается в улучшениях. В течение десятилетий, прошедших после появления знакового доказательства великой теоремы Ферма, появилось несколько идей по поводу того, как сделать его ещё более надёжным. Однако эти попытки отражают глубокое непонимание того, что делает доказательство важным. 23 июня исполнилось 25 лет с момента взбудоражившего всех объявления от Эндрю Уайлса, в котором он заявил о получении доказательства великой теоремы Ферма – наиболее известной в математике задачи возрастом 350 лет. История, окружающая доказательство Уайлса – семь лет он тайно работал над этим проектом, разрыв в доказательстве, обнаружившийся после июньского объявления, элегантное решение, опубликованное год спустя в совместной работе, написанной Уайлсом вместе с его бывшим студентом Ричардом Тэйлором, получение рыцарского звания в 2000 – вошло в анналы математических легенд.
После прорыва Уайлса часто можно услышать рассуждения о наступлении новой «золотой эры» в математике, особенно в теории чисел – области, к которой и принадлежит теорема Ферма. Методы, представленные Уайлсом и Тейлором, сегодня являются частью инструментария специалистов по теории чисел, считающих историю Великой теоремы закрытой. Но эта история тронула не только специалистов по теории чисел.
Мне неожиданно напомнили об этом события 2017 года, когда в промежуток из нескольких дней два логика, делавших доклад на двух разных континентах, указали на способы улучшения доказательства Теоремы – и рассказали о том, насколько удивились их коллеги, когда специалисты по теории чисел не выказали к их идеям никакого интереса.
Логики выражали эти идеи на языках своих соответствующих специальностей – теории множеств и теоретической информатики. Сделанные ими предложения по сути своей были истинными, и, возможно, когда-нибудь поднимут новые вопросы, не менее интересные, чем у Ферма. Однако мне сразу же стало ясно, что эти вопросы не имеют отношения к специалистам по теории чисел, и любые иные предположения отражают глубокое непонимание природы доказательства Уайлса и целей теории чисел в целом.
Корни этого непонимания можно обнаружить в простоте утверждения Теоремы, которая и отвечает за большую часть её привлекательности: если n – любое положительное целое число, большее 2, то невозможно найти три таких положительных числа, a, b и c, что:
Это ярко контрастирует с тем случаем, когда n равно 2: любой человек, изучавший евклидову геометрию, вспомнит, что 32 + 42 = 52, что 52 + 122 = 132, и так далее (этот список бесконечен). За последние несколько столетий математики пытались объяснить наличие такого контраста, и каждый раз терпели неудачу, оставляя, однако, за собой целые новые ветви математики. Среди этих ветвей – крупные области современной теории чисел, привлечённой Уайлсом для своего успешного решения, а также множество фундаментальных идей в каждой части науки, затронутой математиками. И однако никто до Уайлса не мог доказать утверждение Ферма.
Специалисты по информатике недавно ощутили радостное возбуждение, узнав о прогрессе, достигнутом в автоматическом подтверждении доказательств – амбициозной попытке реализовать формалистский подход к математике на практике. Для формалистов, математическое доказательство – это список утверждений, удовлетворяющих строгим ограничениям: Заявления в начале списка должны включать в себя общепринятые идеи. В строгой интерпретации сюда входят только аксиомы формальной теории множеств, обычно из формальной системы, известной, как ZFC (система Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). Это совершенно непрактично, поэтому мы также разрешаем включать сюда уже доказанные теоремы – к примеру, Великую теорему для случая n=4, который уже сам Ферма доказал в XVII веке. Каждое следующее утверждение должно получаться применением правил логической дедукции к предыдущим утверждениям. Наконец, доказанная теорема должна быть на последнем месте в списке.
Математическую логику разрабатывали в надежде установить математику на прочную основу – как аксиоматическую систему, свободную от противоречий, которая способна рассуждать, не скатываясь в нелогичность. Хотя работа Курта Гёделя показала несбыточность этой мечты, многие философы от математики, а также некоторые логики (небольшое, но активное меньшинство, если верить специалистам по теории множеств), всё ещё относятся к ZFC и упомянутым требованиям, как к некоей конституции от математики.
Однако математики никогда не записывают доказательства таким способом. Логический анализ доказательства Уайлса указывает на множество шагов, не учитывающих ZFC, тая в себе потенциал для скандала: если математики придумывают правила, не проверяя их на конституционность, откуда они знают, что все они имеют в виду одно и то же?
Автоматическая проверка доказательств, кажется, предлагает решение этой проблемы. Она подразумевает переформулировку доказательства через набор раздельных заявлений, каждое из которых записано непротиворечивым языком, который компьютер может считать, а затем и подтвердить конституционную верность каждого шага. Этот трудоёмкий метод с успехом применялся ко многим длинным и сложным доказательствам, наиболее известное из которых – доказательство гипотезы Кеплера о наиплотнейшей упаковке сфер, сделанное Томасом Хейлсом. Проверка доказательства Уайлса давно считалась одной из главных целей. Поэтому мой друг, специалист по информатике, был искренне разочарован, что поиски «чистых математиков, безапелляционно поддерживающих использование автоматических инструментов в построении их аргументов», как он это сформулировал, пока не дают результатов. https://habr.com/ru/post/461179/
"Арифметика" Диофанта издания 1670 года, в котором в основной текст включена и печально известная заметка Ферма. В переводе она звучит так: «Кубу невозможно быть суммой двух кубов, четвёртой степени невозможно быть суммой двух четвёртых степеней, или, в общем, любому числу, представляющему собою степень, большую второй, невозможно быть суммой двух таких же степеней. Я открыл воистину чудесное доказательство этого предположения, для размещения которого здесь эти поля слишком узки».
Первое, что не учитывает это разочарование — что доказательство Уайлса, пусть сложное, имеет простую основу, которую легко объяснить обывательской аудитории. Допустим, что, в противоречие с утверждением Ферма, существует тройка положительных целых чисел a, b, c таких, что
(A) ap + bp = cp
для некоего нечётного простого p (а достаточно рассматривать только простые числа). В 1985 году Герхард Фрей показал, что a, b и c можно перегруппировать в
(B) новое уравнение, под названием «эллиптическая кривая»
со свойствами, которые, как все считали, невозможны. Точнее говоря, уже давно было известно, как выразить эту эллиптическую кривую через
(С) представление Галуа
которое является бесконечным набором уравнений, связанных как с эллиптической кривой, так и друг с другом чёткими правилами.
Связь между этими шагами была хорошо известна в 1985 году. К тому времени большинство специалистов по теории чисел были убеждены – хотя доказательства пока не было – что каждому представлению Галуа можно назначить, опять-таки, по чётким правилам,
(D) модулярную функцию,
что-то вроде двумерного обобщения знакомых из тригонометрии функций синуса и косинуса.
Итоговое звено было получено, когда Кен Рибет подтвердил предположение Жан-Пьера Сера о том, что свойства модулярной функции, заданные формой эллиптической кривой Фрея, подразумевают существование
(E) ещё одной модулярной функции веса 2 и уровня 2.
Однако таких функций существовать не может. Следовательно, не существует ни модулярной функции (D), ни представления Галуа (С), ни уравнения (B), ни решения (A).
Оставалось лишь найти отсутствующее звено между (С) and (D), которое математики назвали гипотезой модулярности.
Это звено было объектом семилетних поисков Уайлса. С нашей текущей точки зрения тяжело в полной мере оценить отважность этого рискованного предприятия. Через двадцать лет после того, как Ютака Танияма и Горо Шимура в 1950-х впервые сообщили о связи между (B) и (D) через (С), математики постепенно пришли к выводу, что это должно быть так. Именно эту надежду высказал в очень популярной работе Андре Вейл, которая идеально вписалась в крайне влиятельную программу Ленглендса, названную в честь канадского математика Роберта Ленглендса. Эта связь была слишком хорошей для того, чтобы не быть правдой. Однако гипотеза модулярности казалась совершенно недостижимой. Объекты типов (С) и (D) были слишком разными.
Специалист по информатике не пояснил, связано ли его разочарование с тем, что специалистам по теории чисел было неважно, что доказательство было ограничено поисками критически важного звена между (С) и (D), или что оно простиралось на всём промежутке от (A) до (E). Не буду пытаться разобраться в этом. Но если логикам нужно было только формально подтвердить опубликованное доказательство связи между (С) и (D), то их ожидания были слишком завышенными. Во-первых, Уайлс доказал лишь чуть более, чем достаточно для того, чтобы гипотеза модулярности завершала дедукцию «от (A) до (E)». Полную гипотезу модулярности установили несколько лет спустя Кристоф Бройль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тэйлор. Но это не бросает тень на работу Уайлса! Наоборот, то, что такое большое количество ведущих мировых специалистов по теории чисел пошли по стопам работы Уайлса всего через несколько месяцев после её появления, говорит о её богатстве.
К примеру, чуть позже, осенью 2016 года, 10 математиков встретились в Институте передовых исследований в Принстоне, Нью-Джерси, и смогли доказать наличие связи между эллиптическими кривыми и модулярными функциями в новых условиях. Все они использовали разные пути для понимания структуры доказательства Уайлса, появившегося, когда некоторые из них ещё были детьми. Если бы их попросили описать это доказательство в виде последовательности логических выводов, они, несомненно, выдали бы 10 разных его вариантов. Каждый из них напоминал бы путь от (A) до (E), описанный выше, но был бы гораздо более детальным.
Тем не менее – и это всегда упускают из философского взгляда на доказательства – каждый из этих десяти приписал бы авторство своего доказательства Уайлсу. Они бы ссылались на них тем же образом, что и на другие доказательства, изучаемые ими в разъяснительных статьях или на учебных курсах, которые они посещали или которые преподавали. И хотя каждый из десяти опустил бы какие-нибудь детали, в целом все они были бы правы.
Что же такое доказательства Уайлса, если оно может иметь так много разных вариантов? В математической философии принято относиться к опубликованному доказательству, как к приближению к идеальному формализованному доказательству, которое в принципе можно проверить на компьютере, применяющем правила формальной системы. Идеальное доказательство не загрязняется ничем, что находится за пределами формальной системы – так, будто бы каждый закон нёс на себе метку, подтверждающую его конституциональную оправданность.
Но такой подход противоречит тому, что сами математики говорят о своих доказательствах. Математики не применяют идеологических или философских лакмусовых тестов, но я убеждён, что большинство моих коллег согласятся с Майклом Фрэнсисом Атья, заявившим, что доказательство – «это итоговая проверка, но не основа чего-либо». Опубликованное доказательство явно не является основой чего-либо.
Уайлс и специалисты по теории чисел, уточнявшие и расширявшие его идеи, несомненно не ожидали получить предложения от двух логиков. Но – в отличие от многих людей, наблюдающих за теорией чисел издалека – они определённо понимали, что к такому доказательству, как к тому, что опубликовал Уайлс, не стоит относиться, как к некоему артефакту в себе. Наоборот, доказательство Уайлса – это стартовая точка открытого диалога, который является слишком неуловимым и живым, чтобы ограничивать его серьёзными пределами, чуждыми данной теме. Теги: великая теорема ферма научный метод логика информатика теория чисел
Аннотация: великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Как показал С. Сингх [1], от Пифагора до П. Ферма, от П. Ферма до Э. Уайлса знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл «удивительное» решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. В предлагаемой работе на базе школьных знаний показана невозможность разложения Х" и Z" на целочисленные множители в уравнении Х" + У" = Z" при n > 2. Это значит, что теорема Ферма не имеет целочисленных решений. Ключевые слова: великая теорема Ферма, метод деления.
THE PROOF OF FERMAT'S GREAT THEOREM BY THE METHOD OF DIVISION Vedernikov S.I.
Vedernikov Sergey Ivanovich - Retired, MOSCOW
Abstract: Fermat's Great Theorem was proven twenty years ago. As shown by Singh [1], from Fermat to Wiles, this famous equation developed math. It would seem that the topic is closed, but many people, not just mathematicians, is haunted by the fact that in 1637 Pierre de Fermat stated that he found "amazing" solution to his theorem, despite the fact that the mathematical knowledge of that time were far from the knowledge of our time. In this paper, on the basis of school knowledge, shows the inability of the decomposition of Х" and Z" for integer multipliers in the equation Х" + У" = Z" when n > 2. This means that Fermat's Great Theorem has no integer solutions. Keywords: Fermat's Great Theorem, division method.
УДК 512.1
Теорема:
для целого натурального числа п > 2 уравнение Х" + У" = Z" не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.
Доказательство.
Имеется Х" + У" = Z", где X, Y, Z, n - натуральные положительные числа.
Z > X >Y - взаимно простые числа, n > 2.
Исходя из того, что уравнение является частным случаем уравнения
Х" + у" = z" и в нём выделяются целочисленные значения X, Z и Y, можно утверждать, что если уравнение Х" + У" = Z" при n > 2 не имеет целочисленных множителей для или , то оно не имеет решений в целых положительных числах.
Рассмотрим порядок выделения множителей числа У2 и целочисленных Z, X на примере Пифагоровой тройки (5; 12; 13). [2]
Имеем: .
Преобразуем выражение:
г 2 - X2 = У2 <-» 1 3 2 - 5 2 = 1 2 2 . (1) Разложим ф. (1) на множители:
г + X = Уг ~ 1 3 + 5 = 1 8 ; (2) г - X = У2 ~ 1 3-5 = 8. (3) Сложим почленно ф. (2) и ф. (3): 2 ■ г = У1 + У2 1 8 + 8 = 2 6 ; откуда:
Уг + У2 2(9 + 4) 7 = = = 13' (4)
Вычтем почленно ф. (3) из ф. (2): 2 -Х= ^ - У2 ~ 1 8 - 8 = 1 0 ; откуда:
Ух-Уг 2(9-4)
Из ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в случае п = 2 уравнения Xй + У" = г™ возможно выделение целочисленных множителей У™ и целочисленных значений X и г .
Произведём разложение на множители в уравнении X™ + У™ = г™ при п > 2 . Есть три случая. Посыл общий: чётное число, имеющее множителем 2 ™, при п > 3 , можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Известно, что Ъ в исходном уравнении при чётном п не может быть чётным числом, а X и У одновременно нечётными, поэтому примем Ъ, X - нечётными числами, У - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и У в данном случае нет.
Рассмотрим первый случай, когда п > 2 чётное число. Случай 1.
Ъ, X - нечётные, У - чётное, п - чётное. Имеется:
Хп + Уп = Iй. Преобразуем исходное уравнение:
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. г™^™ = у™. (1)
Разложим на множители ф. (1).
г? + X? = у™ -т (2)
г? - X? = Ут. (3) Поясним суть разложения, заключающуюся в том, что сумма двух нечётных чисел и разность этих же чисел - числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, другое - множителем а в общем случае . Разложение на множители при чётном соответствует ф. (2) и ф. (3), но имеются
два случая: первый, когда имеет множитель 2, а имеет множитель , и когда имеет множитель , а только один множитель 2. Вариантов разложения может быть несколько, но все они соотносятся с этими двумя случаями, отдельно друг от друга рассмотренными здесь. (См. ф. (6) и ф. (11)) Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:
2 . 27 = Уп~т + Ут;
п уп-т.угп
г? = у 2+у ; (4) а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем:
2 ■ хл = уп~т - Ут;
уп-т_ут
X™ =-(5)
Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Ъ и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел У™ _т или Ут имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем 2 ™ " 1 , поскольку У™ -число чётное и имеет множителем минимум одно число При этом и не
могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также !п и Х", что противоречит условию о взаимной простоте 2, X и У.
Поэтому У" " т и Ут должны состоять из различных множителей числа У" в той же степени, в степени п.
Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел У" " т или Ут должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени п, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде:
II + Х^ = 2 ■ У"; (6)
- X? = 2й"1 ■ У2п; (7)
имея в виду, что У" - число нечётное.
п п
Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение и Х2, подставив вместо У" " т значение 2 ■ У", а вместо Ут значение 2 " " 1 ■ У/.
п 2 ■ У" + 2й"1 ■ У," 2 ■ (Уп + 2п~2 ■ У2П) ,
Тг =-1-- =-—-— = У™ + 2™ ■ У";
= 1 2 = 1 ~ 2 -1 = _ 2П_2 ■ У™
2 2 1 2 .
Итак, имеем:
г? = У^ + 2П~2 ■ У2П; (8) = У/1 - 2П~2 ■ У2П. (9)
п
Поскольку Хг является степенью числа Х ирт чётном п > 4, то его можно разложить на множители.
Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности п - х степеней.
П --(П-2)-(П-1)
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Хг = - У2 "-2 ■ У2 ) ■ (У™" 1 + • • • + 2 П ■ У" " (10)
Нечётное число в степени п можно представить разностью квадратов чётного и нечётного чисел столько раз, сколько найдётся сочетаний пар множителей, составляющих это число. При этом для каждой пары множителей возможен только один вариант разложения, только с одной определённой парой чисел, составляющих разность и сумму, где разность этих чисел - один множитель, а сумма - другой. На примере 1 5 3 покажем возможность такого разложения.
Разложим 1 5 3 = 3 3 ■ 53 = 2 7-12 5 = 3 3 75 на два множителя 5 и 675.
Подобным образом можно сделать разложение для 3 и 1125, а также для любого другого сочетания двух множителей числа 1 5 3. Для данного конкретного случая интересно разложение на сочетание п - х степеней множителей, т. е. и . Произведём это разложение.
Предположим, что (Ъ — с) составляет целый множитель, кратный а ". Учитывая, что разложение на целочисленные множители возможно только в одном варианте для этого множителя, запишем как разность квадратов.
а" = (Ъ — с) (Ъ + с) . ф. (12)
При равенстве первых множителей ф. (11) и ф. (12) делаем вывод, что второй множитель ф. (11) равен второму множителю ф. (12), т. е. сумма слагаемых второго множителя ф. (11) равна второму множителю ф. (12).
а™ = (Ь - с) (Ь™- 1 + • • • + с™" ^ = (Ь - с) (Ь + с) . ф. (13) Сократим ф. (13) на (Ь - с). Откуда имеем:
(Ьп_1 + —I- с™-1) Ф (Ь + с). Это значит, что разложение а™ = Ь ™ - с™ по формуле разности квадратов и формуле разности п - х степеней не равнозначно, и, следовательно, ф. (10) показывает невозможность целых положительных множителей X или У1; У2 , следовательно У и г . (Думается, это то самое, «чудесное», в доказательстве Ферма.) Допустим:
г22 + x2 = 2 ™ " 1 ■ У3™; ф . ( 1 4)
г? - x2 = 2 ■ у4™. ф . (1 5 )
Из почленного сложения и вычитания ф. ф. (14) и (15), аналогичным вышеизложенным имеем:
Доказано, что корень к из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является к - ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень есть иррациональное число. Поэтому - число
иррациональное, поскольку другим, меньшим может быть только 1.
п
Следовательно, X? невозможно разложить на целочисленные множители, что однозначно и не допускает другой трактовки, а значит
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. п
X? , и здесь же X™, являются степенью иррационального числа, и уравнение X™ + У ™ = г™ при чётном п > 2 не имеет решения в целых положительных числах.
П/-— — п
При этом особо нужно отметить, что для // 2 ™- 2 = 2 п при нечётном - =2 к + характерен следующий ряд показателей:
п-2 0 4 8 12 16 20 „ 0
--; -; —; —; —; — . . . , где первый показатель - - соответствует
п 2 6 10 14 18 22 ^ г 2
уравнению X 2 + У 2 = г 2 при 2 ? = -^/2° = V! = 1 , что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей. Случай 2.
Ъ; X - нечётные, У - чётное, п - нечётное. Имеем:
Xй + Уп = Iй.
Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат.
п 2 . ^"Пуп у2п _
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
г 2 ™ - X 2 ™ = у2 ™ + 2 ■ X™ ■ У™ = У™ ■ (У™ + 2 ■ X™) . ф. (1) Разложим ф. (1) на множители.
г™ + X™ = У™ + 2 ■ X™; ф. (2) г™ - X™ = у™. ф. (3)
- чётное число, поэтому выразим его как Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом: гп+Хп = 2- (2й"1 ■ У? + Хп);
^п _^п _ 2П ■
Примем:
в виде
I" + Х" = 2 ■ У", где У2" - нечётное число, поскольку целое положительное число можно выразить п - ой степенью другого положительного числа, пусть даже иррационального. Итак, имеем:
I" + Х" = 2 ■ У2"; ф. (4) I" — Х" = 2 " ■ Ух". ф. (5) Сложим почленно ф. ф. (4) и (5). Откуда:
Из ф. ф. (6) и (7) видно, что и не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте I, Х, У; а ф. (6) и ф. (7), а I" и Х" можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности п-х и суммы п-х степеней при нечётном n=2k+1. Разложим на множители ф. (6) и ф. (7).
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Как видно из ф. ф. (8) и (9), I" и Х" нельзя разложить на целочисленные множители, (см. Случай 1), а значит уравнение не имеет решений в
целых положительных числах при нечётном Случай 3.
- нечётные, - чётное, - нечётное. Кроме известного доказательства, что Z в уравнении Х" + У" = I" не может быть чётным числом при чётном п, заключающемся в неравенстве
суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа, возможно ещё одно доказательство этого случая. Имеется:
Х" + У" = I". ф . ( 1 ) Вычтем из левой и правой частей уравнения (1)
Из ф. ф. (8) и (9) следует, что разложение Х" и У" на целочисленные множители невозможно (см. Случай 1), а значит Z не может быть чётным числом в уравнении (1).
Общий вывод: для рационального числа п > 3 уравнение Х" + У" = Z" не имеет решений в целых положительных числах
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Список литературы /References
1. Сингх C. Великая теорема Ферма. М.:МЦНМО, 2000. 286 с.
2. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959. 112 с.
3. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Учеб. Пособие. М. Высшая школа, 1984. 311 с.
Все даты в формате GMT
3 час. Хитов сегодня: 0
Права: смайлы да, картинки да, шрифты да, голосования нет
аватары да, автозамена ссылок вкл, премодерация вкл, правка нет
- участник сейчас на форуме
- участник вне форума