Двухстраничное доказательство Последней теоремы Ферма, понятное школьникам
Ремизов Вадим Григорьевич
Кандидат технических наук
https://sci-article.ru/stat.php?i=1617307139 Ярославский государственный технический университет
Доцент
Ремизов Константин Вадимович
Аннотация: В статье представлены элементарные одностраничное и двухстраничное доказательства Великой теоремы Ферма, основанные на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых необходимые условия существования экстремумов в точках экстремумов являются непрерывными функциями. Доказательство теоремы Ферма было получено в 1994 году, раньше доказательства Эндрю Уайлса. В статье приведен перевод доказательства Последней теоремы Ферма на английский язык.
Abstract: The article presents elementary one-page and two-page proofs of Fermat's Great Theorem, based on the properties of extremums of continuous and smooth functions, for which the necessary conditions for the existence of extremums at the points of extremums are continuous functions. The proof of Fermat's theorem was obtained in 1994, before the proof of Andrew Wiles. The article provides a translation of the proof of Fermat's Last Theorem into English.
Ключевые слова: Теорема Ферма; действительные числа; целые и натуральные числа; непрерывные и гладкие функции; математический анализ; экстремумы, максимумы и минимумы функций; необходимые условия существования экстремумов функций
Keywords: Fermat's theorem; real, integer, and natural numbers; continuous and smooth functions; mathematical analysis; extremums, maxima, and minima of functions; necessary conditions for the existence of extremums of functions
УДК 510; 511; 517
Вступление
Великая теорема Ферма (или Последняя теорема Ферма), а точнее говоря, гипотеза Ферма — одна из самых популярных теорем (гипотез) математики была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году. На полях перевода «Арифметики» Диофанта Пьер Ферма написал: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы вместить его». Увы, судя по всему, Ферма так и не удосужился записать найденное им «чудесное доказательство».
Формулировка ВТФ доступна для понимания даже школьникам, однако доказательство гипотезы Ферма в общем виде более трёх веков искали лучшие умы человечества. Именно Великая теорема Ферма упорно не поддавалась решению. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Для случая n=4 теорему Ферма доказал сам Пьер Ферма. Первый прорыв в доказательстве ВТФ сделал Эйлер, в 1753 году Эйлер доказал ВТФ для случая n=3. Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n Эйлеру не удалось. В 1825 году ВТФ для случая n=5 доказали Дирехле и Лежандр. Позднее Ламе доказал ВТФ для случая n=7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67. Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Доказана ВТФ была лишь в 1994 году Эндрю Уайлсом (доказательство на 130 страницах было опубликовано в 1995 году).
Над доказательством Великой теоремы Ферма работало немало выдающихся математиков, и их усилия привели к получению многих результатов современной математики. В поисках ее доказательства была открыта значительная часть современной математики. Несмотря на то, что простое и изящное решение этой задачи так и не было найдено, ее поиски внесли значительный вклад во многие области математики, эта задача послужила толчком для целого ряда открытий в области теории множеств и простых чисел.
Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году, но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел, который был устранен с помощью Ричарда Тейлора. В 1995 году был опубликован завершающий вариант доказательства ВТФ.
Великая теорема Ферма (ВТФ) являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и, тем не менее, ее формулировку может понять любой школьник средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал.
Актуальность
Доказательство Эндрю Уайлса, объемом более ста страниц, представленное в конце XX века, очень сложное, а потому понятное лишь узкому кругу специалистов, не поставило окончательную точку в проблеме доказательства теоремы Ферма. До сих пор многие профессиональные математики продолжают ломать голову над смыслом введенных Эндрю Уайлсом синтетических конструкций. Несмотря на то, что в 1995 году Эндрю Уайлсом Теорема Ферма была доказана, эта задача до сих пор входит в число нерешенных математических проблем из-за неистощимого желания математиков найти теперь более простое и изящное решение.
Само доказательство Эндрю Уайлса основано на применении современного аппарата высшей математики отсутствовавшего в эпоху Ферма. Поэтому доказательство Уайлса не могло быть доказательством Пьера Ферма. Математики сходятся во мнении, что Пьер Ферма не доказал свою гипотезу, то есть либо ему показалось что он доказал теорему и он искренне заблуждался, либо в его доказательстве были ошибки и пробелы, которые он не обнаружил, либо Ферма не доказал свою теорему, а на полях книги «Арифметика» Диофанта просто соврал.
Большинство профессиональных математиков считают поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказываются тратить время не только на доказательство ВТФ, но и на рецензирование доказательств ВТФ.
Тем не менее были и математики, которые может быть, в тиши своих кабинетов тоже пробовали осторожно подходить к этой неподъемной штанге, но не говорили об этом вслух, дабы не прослыть ферматистами и не навредить своему высокому авторитету.
К сожалению, остались без ответа следующие вопросы: существует ли элементарное доказательство теоремы Ферма? и доказал ли теорему Ферма сам Пьер Ферма?
Поиску ответов на эти вопросы и посвящена данная публикация.
История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков.
Цели и задачи
Показать, как решение диофантовых уравнений в целых числах можно свести к решению вещественных уравнений и как периодические тригонометрические функции и теорию экстремумов непрерывных и гладких функций можно использовать для решения целочисленных проблем и диофантовых уравнений. Получить элементарное и короткое доказательство ВТФ, понятное школьникам.
Научная новизна
Новизна работы заключается в том, что для решения диофантова уравнения (доказательства теоремы Ферма) применялся математический анализ непрерывных и гладких функций и теория экстремумов функций, иными словами диофантово уравнение было решено с помощью периодических тригонометрических функций (синусоид). Доказательство Великой теоремы Ферма основано на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов являются непрерывными функциями.
Доказательство теоремы Ферма основано на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов непрерывны. В точках, в которых необходимые условия существования экстремумов имеют разрывы, непрерывная и гладкая функция не может иметь экстремум.
Теорема Ферма утверждает, уравнение (1) не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z, n при n>2. Числа x, y, z можно считать попарно взаимно простыми, поскольку в случае, если числа x, y, z имеют общий целый делитель, то на него числа x, y, z можно сократить, сделав их попарно взаимно простыми.
Будем натуральные числа, которые удовлетворяют диофантову уравнению Ферма (1), называть корнями диофантова уравнения Ферма
Запишем вещественную неотрицательную непрерывную и гладкую функцию (2)
Очевидно, что при а = 1 только целые значения переменных x, y, z и n доставляют функции (2) нулевые локальные минимумы. Поэтому корни диофантова уравнения Ферма (1) при а = 1 обращают функцию (2) в ноль. Справедливо и обратное утверждение, что целые значения переменных x, y, z и n , которые при а = 1 доставляют функции (2) нулевые локальные минимумы, являются корнями диофантова уравнения Ферма (1).
Запишем необходимые условия существования экстремума функции (2) в произвольной точке с координатами х и у:
где z определяется зависимостью (3) , причем неизвестно может ли z быть целым. Поэтому невозможно установить могут ли удовлетворяться уравнения (4) и (5), поскольку в эти уравнения входит неопределенная переменная z. Из уравнений (4) и (5) с помощью эквивалентных преобразований можно получить еще одно необходимое условие существования экстремумов (6) непрерывной и гладкой функции (2), содержащее только независимые переменные x и y.
Уравнение (6) можно рассматривать как некоторую неявную функцию ψ(n)=φ(a) в точке экстремума с произвольными координатами x и y. Правая часть уравнения (6), т. е. функция φ(a), при а = 1 в точках экстремумов с целыми значениями координат x и y не определена (имеет место неопределенность типа 0/0). Функция φ(a) в этой точке имеет разрыв первого рода. Чтобы необходимое условие существования экстремума (6) функции (2) в точке экстремума было непрерывным, надо значение функции φ(a) в точке а = 1 доопределить значением, равным пределу функции φ(a) при a → 1. Раскроем предел функции φ(a) при a → 1 и целых x, y по правилу Лопиталя и получим диофантово уравнение-ограничение (7) для определения значений n, при которых необходимое условие существования экстремумов (6) функции (2) будет непрерывным. Если значение n при а = 1 не будет равно пределу функции φ(a) при a → 1, то необходимое условие существования экстремумов (6) будет иметь разрыв и не будет непрерывным. Значение n при а = 1 определяется из диофантова уравнения Ферма (1)
Диофантово уравнение-ограничение (7) в случае попарно взаимно простых целых x и y имеет решение n = 2. Необходимое условие существования экстремумов (6) функции (2) будет непрерывным, только если n = 2.
Предположим, что имеется целочисленное решение x, y, z и n диофантова уравнения Ферма (1), причем n > 2. Тогда при этих значениях переменных и а = 1 непрерывная и гладкая функция (2) должна иметь нулевой локальный минимум. Но в этом случае необходимое условие существования экстремумов (6) в точках с целыми координатами x и y при n > 2 и а = 1 будет иметь разрыв. Поэтому функция (2) при а = 1, целом n > 2 и целых координатах x и y не может иметь нулевых локальных минимумов, и поэтому при целом n > 2 диофантово уравнение Ферма (1) не будет иметь целых решений.
ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЕОРЕМА ФЕРМА ДОКАЗАНА.
В работах [1, 2, 3, 4] были опубликованы различные варианты доказательства теоремы Ферма, основанного на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов являются непрерывными функциями.
Рис.1. Одностраничное доказательство теоремы Ферма
В 1994 году мы направили наше одностраничное доказательство теоремы Ферма, показанное на рис 1., на рецензирование в Ярославский Государственный университет им. П.Г. Демидова. Рецензентом был зав. кафедрой «Дискретной математики» д.ф.-м.н. профессор Бондаренко В.А. Рецензент заявил, что доказательство ошибочное, так как мы в доказательстве делим на ноль. А на ноль делить нельзя! Нельзя! На что я возразил, что мы не делим на ноль, а раскрываем неопределенность типа 0/0 по правилу Лопиталя. На это рецензент заявил, что мы не правильно раскрыли предел, так как не учли зависимость переменных х и у от параметра а. Но это не так, так как мы ищем значение параметра n, при котором в точке с произвольными фиксированными целыми координатами х и у функция (2) будет иметь нулевой локальный минимум, поэтому координаты точки х и у не зависят от параметра а. Других претензий к доказательству у рецензента не было. Таким образам, мы не пришли к единому мнению относительно верности доказательства, мы остались при своих мнениях. Кто из нас прав судить Вам. К сожалению, рецензент не дал письменной рецензии, поэтому о результатах нашей дискуссии можно судить только с моих слов.
После неудачной попытки получить рецензию на наше доказательство в ЯГТУ мы опубликовали одностраничное доказательство теоремы Ферма в Ярославской областной газете «Северный край» за № 189 от 2 ноября 1994 года. И, тишина! Математическое сообщество Ярославля не заметило доказательство теоремы Ферма, точнее говоря, сделало вид, что не заметило.
В интернете есть такой форум: dxdy «Математика» Дискуссионные темы (М); подфорум: Великая терема Ферма. С целью обсуждения нашего доказательство теоремы Ферма, я открыл на этом форуме тему «Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994». Посмотрите, что из этого вышло.
Vadim44
06.11.2017, 13:06
Размещено «Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994», представленное на рис.1.
Provincialka Заслуженный участник
Казань
06.11.2017, 13:44
Re: Переход в пределу -- опасная операция. Совсем не всегда дает правильный результат. Это нужно отдельно доказывать.
Shwedka
Заслуженный участник
Швеция
06.11.2017, 13:59
Re: Красиво, но неверно.
Корни системы (3,4) зависят от а, поэтому при вычислении предела по Лопиталю нужно эту зависимость учитывать.
Авторы же дифференцуют в 5, как если бы эти корни не зависели от а.
Provincialka Заслуженный участник
Казань
06.11.2017, 14:03
Re: Shwedka О! Точно, а я и не обратила внимание! В общем, хоть и неверно, но зато не банально.
Vadim44
Доказательство и красивое, и верное! Подчеркиваю, что приведенное доказательство краткое (ставилась задача изложить суть доказательства теоремы Ферма на одном листе), поэтому опускались доказательства элементарных и очевидных (на мой взгляд) фактов. Постараюсь популярно объяснить Ваши заблуждения.
Да, при вычислении предела переменные х и у осознано полагались не зависящими от параметра а. Если переменные х и у будут зависеть от параметра а, то неявная функция (5), зависящая от четырех переменных х, у и n и a, будет являться необходимым условием существования экстремума функции (2) во всех (любых) точках пространства переменных x и y. В рассматриваемом случае записаны необходимые условия существования экстремума функции (2) в произвольной (одной, фиксированной) точке с целыми координатами x и y. Именно поэтому x и y будут независимыми от параметра a. Эти условия можно
обобщить на все точки с целыми координатами. В доказательстве решается задача установления точек, в которых функция (2) не может иметь экстремумы. Для того, чтобы доказать, что в данной точке функция (2) не может иметь экстремум, необходимо показать, что хотя бы одно из необходимых условий существования экстремума при подстановке в уравнение координат этой точки не имело бы решений или имело бы решения, которые (все) не могут быть координатами экстремума функции (2).
Someone
Заслуженный участник
Москва
19.11.2017, 20:07
Re: Vadim44 Пока Вы не даёте повода усомниться в вашей безграмотности. Вы бы всё-таки почитали учебники.
Lia
Модератор
27.11.2017, 22:01
Vadim44 Тема закрывается окончательно. Продолжение ее где-либо еще на этой площадке, как и любое дублирование, категорически запрещено правилами форума.
Совершенно не понятно, какую цель преследуют создатели этого форума. Я не думаю, что создатели форума надеялись мозговым штурмом ферматиков найти утерянное доказательство Пьера Ферма. Скорее всего заслуженные участники форума решили покуражиться над доверчивыми ферматиками, поскольку до 1994 года все они были уверены, что доказать теорему Ферма вообще невозможно, а после 1994 года, что доказать элементарными методами теорему Ферма невозможно. Лучше было бы, чтобы заслуженные участники форума объяснили наивным ферматикам, что теорему Ферма нельзя доказать только с помощью эквивалентных алгебраических преобразований, а доказательство следует искать с использованием теорем теории чисел, что способствовало бы изучению математики.
Следует заметить, что теорему Ферма мы доказали раньше, чем это сделал Эндрю Уайлс, но из-за ошибочной рецензии Бондаренко В.А. мы не получили признания, и чем нам причинен моральный и материальный вред. Потому, что все премии, которые были присуждены Эндрю Уайлсу должны быть нашими. Теперь настало время, когда рецензенты, дававшие отрицательные отзывы и рецензии, должны открыто на страницах журнала «SCI-ARTICLE» повиниться и опубликовать свои опровержения и извинения за ложные и ошибочные отзывы, благо для этого имеются все условия и возможности. Если заслуженные участники форума dxdy, скрытые под никами и псевдонимами, не сделают это сами, за них это должны сделать модераторы форума dxdy. В строительной практике и юриспруденции за ошибочные и ложные экспертные заключения предусмотрена не только моральная, но и уголовная ответственность.
Мы доказали Великую теорему Ферма элементарными методами на одной и на двух страницах. Ее не могли доказать три с половиной века лучшие математики земли. И полная тишина! Неужели нет математиков, которые бы беспристрастно и объективно могли бы оценить верность нашего доказательства. Это саботаж.
В настоящее время некоторые ученые мужи пытаются препятствовать опубликованию нашего доказательства теоремы Ферма, обвиняя нас в плагиате и не оригинальности нашего доказательства. Где у них совесть? О какой неоригинальности может идти речь когда представлено впервые в мире элементарное доказательство Великой теоремы Ферма. Единственным основанием для отказа в публикации нашего доказательства теоремы Ферма может быть только отрицательная рецензия, в которой указаны ошибки. Поэтому просим направить наше доказательство на рецензирование и рецензию опубликовать вместе с самим доказательством теоремы Ферма.
Мы хотели опубликовать статью «Двухстраничное доказательство теоремы Ферма» в престижном «Сибирском математическом журнале», но нам на это ответили так: «Уважаемый Вадим Григорьевич, В связи с отсутствием в составе редколлегии СМЖ специалистов по теории чисел работы, посвященные теореме Ферма, к рассмотрению не принимаются.
Всего хорошего, В.Н.Дятлов, Зав. ред. Сибирского математического журнала».
Уважаемые читатели мы надеемся, что Вы примете активное участие в обсуждении нашего доказательства теоремы Ферма на страницах журнала «SCI-ARTICLE».
// -
ЭТА! .....ДИОДия..... - НИКОМУ! НЕ! понятна...., ТЕМ! БОЛЕЕ! - школьнику! :
"... Запишем вещественную неотрицательную непрерывную и гладкую функцию (2) /
- О ЧЁМ!!! ЭТО!!!! ВАААААЩЩЩЩЕЕЕЕЕ!!!!/
Очевидно, что при а = 1 только целые значения переменных x, y, z и n доставляют функции (2) нулевые локальные минимумы. Поэтому корни диофантова уравнения Ферма (1) при а = 1 обращают функцию (2) в ноль. Справедливо и обратное утверждение, что целые значения переменных x, y, z и n , которые при а = 1 доставляют функции (2) нулевые локальные минимумы, являются корнями диофантова уравнения Ферма (1). ...."//
- участник сейчас на форуме
- участник вне форума